Notion de voisinage

Définition [Voisinage] Soit un espace topologique. Un voisinage de est un ensemble tel qu'il existe un ouvert avec .
On note par l'ensemble des voisinages de .

Proposition Un sous-ensemble d'un espace topologique est ouvert si et seulement si il est un voisinage de chacun de ses points.

Démonstration:

Soit un ouvert , et dans . On a ... Donc est voisinage de .

Soit voisinage de chacun de ses points. A chaque point associons l'ouvert tel que . La réunion des est un ouvert, contient tous les de et est incluse dans ; c'est donc . Donc est un ouvert.

Proposition Si , espace topologique, et , et , alors .
pour tout , alors

Démonstration: contient par définition un ouvert contenant ; étant inclus dans , contient ce même ouvert. Donc est un voisinage de .

et contiennent chacun un ouvert contenant ; l'intersection de ces deux ouverts est un ouvert, contient et est inclus dans ; donc est un voisinage de .