Parties non mesurables

Théorème [Banach et Tarski] Il existe un ensemble inclus dans la sphère unité de tel que pour tout (éventuellement ), est la réunion disjointe de images de par des rotations. Façon amusante de constater qu'on ne peut pas mesurer n'importe quoi... Cette preuve nécessite l'axiome du choix.
On peut même aller plus loin et étant donnés et d'intérieurs non vides de , on peut décomposer en une réunion de finie, et en une réunion de de même cardinal, avec et égaux via une rotation et une translation.

Si l'on n'utilise pas l'axiome du choix, alors on peut utiliser à sa place un autre axiome, qui affirme que toute partie de est mesurable.