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Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures Dérivation de limites

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Dérivation de limites

des espaces vectoriels normés ,

ouvert de

suite d'applications de

dans

différentiables

Hypothèses Conclusions

convergeant simplement vers , les convergeant uniformément vers une certaine application de dans ${\cal L}(E,F)$ ,

$\bullet$ différentiable et
$\bullet$ Pour tout convexe borné $\subset U$ la convergence de ${f_n}_{\vert C}$ vers $f_{\vert C}$ est uniforme
$\bullet$ Si les sont alors est .

connexe, Banach. $\exists x_0$ / converge, $\forall x$ $\exists V_x$ voisinage de tel que la suite des ${Df_n}_{\vert V_x}$ soit de Cauchy pour la métrique définie par

$\displaystyle d(f,g) = sup_{z \in V_x} {\parallel}f(z)-g(z){\parallel}$
(ie la suite des converge normalement sur un certain voisinage de tout point)

Alors il existe de dans tel que:
$\bullet$ est dérivable en tout point
$\bullet$ la suite des converge vers (simplement)
$\bullet$ tout possède un voisinage tel que les convergences de et restreints à soient uniformes.
$\bullet$ Si les sont , l'est aussi.