A lire

Deug/Prï¿½pa

Licence

Agrï¿½gation
A télécharger

Télécharger

personnes(s) sur le site en ce moment.

A. Grothendieck

A lire

Articles

Math/Infos

Rï¿½crï¿½ation
A télécharger

Télécharger

Thï¿½orï¿½me de Cantor-Bernstein

Théo. Sylow

Théo. Ascoli

Théo. Baire

Loi forte grd nbre

Nains magiques

suivant: Métriques équivalentes monter: Espaces métriques précédent: Intérieur et adhérence d'un

Application continue

Soient (X,d) et (Y, $\delta$ ) deux espaces métriques.
Définition On dit que $f: X\longrightarrow Y$ est continue en x $_0\in$ X si:

$\begin{displaymath}\forall \varepsilon > 0 \exists \eta > 0 ; \forall x\in X d(x,x_0)<\eta \Rightarrow \delta(f(x),f(x_0))<\varepsilon\end{displaymath}$

Autement dit:
Proposition On a équivalence entre:

f est continue en x
$\forall \varepsilon > 0 \exists \eta > 0 ; x \in$ $B(x_0,\eta)$ $\Rightarrow f(x)\in$ $B(f(x_0),\varepsilon)$
$\forall \varepsilon > 0 \exists \eta > 0 ;$ $B(x_0,\eta)$ $\subset f^{-1}$ ( $B(f(x_0),\varepsilon)$ )
$\forall$ V $\in$ $\cal{V}$ () $f^{-1}$ (V) $\in$ $\cal{V}$ (x)

Encore un critère fondamentale pour la continuité en un point:
Théorème Soient $f: X\longrightarrow Y$ et $x \in$ X.

est continue en x si et seulement si $\forall$ $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ convergentes

vers x, $\displaystyle {\lim_{n \rightarrow + \infty}}$ f(

)=f(x).
Démonstration Supposons que

soit continue en x

. Alors pour tout voisinage V de

(x), $f^{-1}$ (V) est un voisinage de x. Mais il existe

tel que si

alors $x_n\in V$ . Donc si

, $f(x_{n})$ est élément de V. Ceci prouve que $\displaystyle {\lim_{n \rightarrow + \infty}}$ f(

)=f(x).
Supposons maintenant que f ne soit pas continue

en x. Ceci implique qu'il existerait un voisinage V de

(x) tel que $f^{-1}$ (V) ne soit pas un voisinage

de x. Donc U= $\lbrace y \in X ;f(y)\in$ V $\rbrace$ ne contient pas d'ouvert contenant x. Autrement dit, prenant un système fondamentale de voisinage au point x : $(V_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ , pour tout n dans IN, on peut trouver un élément

tel que $x_n \in V_n \setminus$ U. La suite

ainsi construite converge vers x mais la suite $(f(x_n))_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ ne rencontre, par construction, jamais V et donc ne converge pas vers

. Cqfd.
Définition On dit que $f: X\longrightarrow Y$ est continue sur X si elle est continue en chaque point de X.
La propriété qui suit est fondamentale car elle permet de comprendre la définition de la continuité en topologie générale

.
Proposition $f: X\longrightarrow Y$ est continue sur X si et seulement si $\forall$ O ouvert de Y, $f^{-1}$ (O) est un ouvert de X.
Démonstration Suppososons que

soit continue sur X et soit O un ouvert

de Y. Soient aussi y un point de O et x un point de $f^{-1}$ (O) tel que

(x)=y. Comme O est ouvert, O est un voisinage

de x et donc $f^{-1}$ (O) est un voisinage de x. X étant ayant été choisie de façon quelconque dans $f^{-1}$ (O), on en déduit que $f^{-1}$ (O) est un voisinage de chacun de ses points et donc que $f^{-1}$ (O) est ouvert

dans X.
En utilisant à nouveau le fait qu'un ensemble ouvert est un voisinage de chacun de ses points

, la réciproque est immédiate.
Définition Soient (X,d) et (Y, $\delta$ ) deux espaces métriques. On dit que $f: X\longrightarrow Y$ est uniformément continue sur X si:

$\begin{displaymath}\forall \varepsilon>0 \exists \eta>0 \forall x, y \in X d(x,y)<\eta \Rightarrow \delta(f(x),f(y))<\varepsilon.\end{displaymath}$

Proposition Si f est uniformément continue sur X alors f est continue sur X.
Définition Soient (X,d) et (Y, $\delta$ ) deux espaces métriques. Soit k un réél strictement positif. On dit que $f: X\longrightarrow Y$ est Lipschitzienne de rapport k si $\forall x,y\in X \delta(f(x),f(y))\leq d(x,y)$ . Si de plus k<1, on dit que f est contractante.
Proposition Si

est lipschitzienne, elle est uniformément continue.
Définition Soit $f: X\longrightarrow Y$ . On dira que

est une application ouverte si l'image par

de tout ouvert de X est un ouvert

de Y.
Proposition Si

est bijective, on a équivalence entre:

est une application ouverte.
$f^{-1}$ est continue comme application de Y dans X.

Démonstration C'est évident!.
Proposition (Continuité de la composée de deux applications continues) Soient (X,d), (Y, $\delta$ ) et (Z, $\Delta$ ) des espaces métriques. Si $f: X\longrightarrow Y$ est continue sur X et que $g: Y\longrightarrow Z$ est continue sur Y alors $g\circ f: X\longrightarrow Z$ est continue sur X.
Démonstration Soit O un ouvert de Z. Comme

est continue, $g^{-1}(O)$ est un ouvert de Y

. Mais comme f est continue, $f^{-1}(g^{-1}(O))$ est un ouvert de X . Ce qui prouve que, pour O ouvert quelconque de Z, $(g\circ f)^{-1}(O)$ est un ouvert de X, et que $g\circ f$ est continue sur X