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Théorème fondamental L'image d'un compact par une application continue est compacte.
Démonstration Soient K un compact de (X, ), (Y, ) un espace topologique et
 une application continue de X dans Y  . Soit
 un recouvrement ouvert de  (pour la topologie induite sur ...). On a donc
Rappelons que si A et B désignent deux ensembles quelconques de Y alors
Alors
Mais  étant continue , chaque
 est un ouvert de K (pour la topologie induite de X sur K).Comme K est compact, on peut extraire de la famille
 un recouvrement fini de K
 (où I est une sous partie finie de I). On a alors, comme
Et donc, du recouvrement initial de , on a extrait un recouvrement fini, ce qui prouve que est compact.
Remarque Si est un homéomorphisme de (X,) dans (Y,) et que X est compact, il en est de même de Y.
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Emmanuel_Vieillard-Baron_pour_les.mathematiques
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©Emmanuel
Vieillard Baron 01-01-2001
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