Idéaux

Définition Soit (A,+,.) un anneau et I un sous ensemble de A. I est un idéal à gauche (resp. à droite) de A si et seulement si:

I est un sous groupe abélien de A pour la loi +.
Pour tout élément a de A et x de I, a.x (resp x.a) est un élément de I.

Définition Soit A un anneau et I un sous ensemble de A. I est un idéal bilatère de A si et seulement si I est à la fois un idéal à gauche et un idéal à droite de A. On utilisera de manière générale le mot idéal pour idéal bilatère.

Définition Soit A un anneau et I un un idéal ( bilatère) de A. I est un idéal premier de A si et seulement si I n'est pas égal à A tout entier et si I vérifie:

$\begin{displaymath}\forall x,y\in A, \; x.y\in I \Rightarrow x\in I\;\; ou y\in I.\end{displaymath}$

Définition Soit A un anneau et I un idéal de A. I est un idéal principal de A si et seulement si I est engendré par un unique élément a de A. Autrement dit:

$\begin{displaymath}I=\lbrace x.a;a\in A \rbrace.\end{displaymath}$

On notera dans ce cas (a), l'idéal engendré par l'élément a de A.

Définition L'idéal (0) engendré par l'élément 0 d'un anneau A sera appelé l'idéal nul de A.

Définition Un anneau est dit principal si il est intègre et que tout ses idéaux sont principaux.

Définition Un idéal I dans un anneau A est dit strict ou propre dans A si il n'est pas égal à l'anneau tout entier.

Définition Un idéal est maximal si il strict et si il n'est contenu dans aucun idéal autre que l'anneau tout entier.

Proposition Si un idéal d'un anneau A contient l'élément unité de l'anneau alors cet idéal est égal à l'anneau tout entier.

Démonstration Supposons que l'idéal I de l'anneau A contienne l'élément 1 de A. Alors pour tout a $\in$ A, a=a.1 est, par définition d'un idéal, élément de I. Donc A $\subset$ I et I=A.

Définition Un idéal dans un anneau A sera dit finiment engendré si l'ensemble de ses générateurs est fini, c.a.d si il existe n $\in$ ${\mathbb{N}}$ et des éléments a $\in$ A pour i=1,...,n tels que $\forall x\in I, \exists x_1,...,x_n\in A / \displaystyle{x=\sum_{i=1}^n x_i.a_i}$ .

Théorème de Krull Soit I un idéal d'un anneau A. Alors il existe un idéal maximal de A contenant I.

Démonstration Considérons l'ensemble $\cal I$ des idéaux de A contenant I et non égaux à A. $\cal I$ est non vide car il contient I. $\cal I$ est un ensemble partiellement ordonné par l'inclusion. $\cal I$ est inductif car tout partie P non vide de $\cal I$ totalement ordonnée pour l'inclusion possède un majorant. Ce majorant est donné par la réunion des éléments de P, à savoir que cette réunion est bien un idéal propre de $\cal I$ car la réunion est prise sur une suite croissante d'idéaux propres de $\cal I$ . On peut appliquer le lemme de Zorn. $\cal I$ possède un élément maximal. Ce dernier est un idéal propre de A contenant I et contenu dans aucun autres idéaux propres de A.