Corps

Définition Soit k un ensemble et soient + et . deux lois internes sur k. Le triplet (k,+,.) possède une structure de corps si:

(k,+,.) a une structure d'anneau commutatif unitaire.
(k $\setminus \lbrace 0 \rbrace$ ,.) a une structure de groupe (abélien).

Exemple ${\mathbb{Q}}$ , ${\mathbb{R}}$ et ${\mathbb{C}}$ ont des structures de corps pour leur addition et multiplication respectives. D'autres corps existent mais ils sont beaucoups moins accessibles. Nous pensons, par exemple, au corps des quaternions d'Hamilton.

Remarque Par abus d'écriture et quand aucune confusion n'est à craindre, nous noterons k le corps (k,+,.).

Proposition Soit k un corps. Alors:

1 $\neq$ 0.
k ne possède pas de diviseurs de 0 ( k est donc intègre ).

Démonstration

Autrement la définition d'un corps n'a plus de sens ( cf 2 $^{ieme}$ point).
Supposons qu'il existe x et y dans k tels que x.y=0. Supposons de plus que x n'est pas nul. Alors x est inversible et x $^{-1}$ .x.y=x $^{-1}$ .0=0 . Donc y=0 et x, y ne sont pas des diviseurs de 0.

Proposition fondamentale Les seuls idéaux d'un corps sont l'idéal nul et le corps tout entier. Réciproquement si A est un anneau n'ayant comme seuls idéaux que l'idéal nul et lui même alors A est un corps.

Démonstration

Supposons que k est un corps. Soit I un idéal non nul de A. Soit donc x un élément non nul de I. x est, par définition d'un corps, inversible dans k. Soit x $^{-1}$ l'inverse de x dans k. x $^{-1}$ .x est, par définition d'un idéal, élément de I. Mais x $^{-1}$ .x est égal à l'élément unité de k. Donc 1 $\in$ I et I=k.
Supposons maintenant que les seuls idéaux de l'anneau A sont l'idéal nul et A tout entier. Il nous suffit de montrer que tout les éléments non nuls de A sont inversibles. Soit x $\neq$ 0 un élément de A. Soit (x) l'idéal engendré par x. Comme x n'est pas nul, cet idéal n'est pas nul non plus. Il est alors égal à A tout entier. L'unité de A est donc élément de (x). Ceci signifie qu'il existe y dans A tel que x.y=1. x est donc inversible d'inverse y, Cqfd.

Définition Soit k un corps. Soit A le sous anneau de k engendré par l'élément unité de k. Les éléments de A sont de la forme $\underbrace{1+1+...+1}_{n\; fois}$ . Si A est de cardinal fini alors la caractéristique de k est le cardinal de A. Sinon on dit que la caractéristique de k est nulle. Remarqons que si k est de caractéristique n alors $\underbrace{1+1+...+1}_{n\; fois}=0$ .