Anneaux Noethériens

La notion d'anneau noethérien a un rôle un peu analogue à celle de la notion de compacité en topologie dans le sens où on ramène une propriété ayant ``un caractère infini'' à une propriété ayant un caractère fini. Cette remarque prend encore plus de sens quand on s'intéresse à des anneaux munis d'une topologie ( Topologie de Zariski ). Mais nous ne nous étendrons pas et nous contenterons dans ce paragraphe de donner quelques définitions.

Définition - Proposition Soit A un anneau. A est un anneau Noethérien si il vérifie une des propriétés équivalentes suivantes:

Tout idéal de A est finiment engendré.
Toute suite croissante d'idéaux de A est stationnaire.
Tout ensemble non vide d'idéaux de A possède un élément maximal pour l'inclusion.

Remarque Explicitons les différents termes intervenant dans cette définition:

Définition On entend par suite croissante d'idéaux de A une suite (I) $_{n\in IN}$ d'idéaux de A telle que pour tout n $\in$ ${\mathbb{N}}$ I $\subset$ I $_{n+1}$ . Dire que cette suite est stationnaire revient à dire qu'il existe m $\in$ ${\mathbb{N}}$ tel que si n $\geq$ m alors I=I $_{n+1}$ .

Définition Si l'on considère un ensemble X constitué de sous ensembles d'un ensemble donné (désolé pour la formulation!), on peut considérer la relation ``être inclus dans'' comme un ordre partiel sur X. Un élément Y sera dit maximal pour la relation d'inclusion si pour tout élément Y de X, Y est inclus dans Y.

Démontrons maintenant la propriété.

Démonstration

Supposons que tout idéal de A est finiment engendré et montrons que toute suite croissante d'idéaux de A est finiment engendré. Soit (I) $_{n\in IN}$ une suite croissante d'idéaux de A. Chacun de ses idéaux I possède, par hypothèse, un ensemble fini de générateurs que l'on note J. Comme la suite (I) $_{n\in IN}$ est croissante, il en est de même de la suite (J) $_{n\in IN}$ . Intéressons nous à l'idéal donné par $I=\displaystyle{\bigcup_{n\in IN} I_n}$ . C'est bien un idéal de A ( Exercice! ). Et l'ensemble de ses générateurs est donné par $J=\displaystyle{\bigcup_{n\in IN} J_n}$ . Comme J est fini et que la suite (J) $_{n\in IN}$ est croissante, ceci implique que la suite (J) $_{n\in IN}$ est stationnaire. Mais donc, pour un certain n $\in$ ${\mathbb{N}}$ , J=J si m $\geq$ n et I=I si m $\geq$ n. La suite (I) $_{n\in IN}$ est bien stationnaire.
Supposons maintenant que toute suite croissante d'idéaux de A (I) $_{n\in IN}$ est stationnaire. Soit $\cal A$ un sous ensemble de l'ensemble de tous les idéaux de A. Montrons que $\cal A$ possède un élément maximal pour l'inclusion. Pour cela construisons la suite d'idéaux de A suivante: Soit I un élément de $\cal A$ , on pose I=I. Si I est le seul idéal de $\cal A$ alors on cesse notre construction et I est l'élément maximal de $\cal A$ recherché. Sinon il existe un idéal I de J dans $\cal A$ différent de I. On pose I=I $\cup$ J. Supposons ainsi construits les n premiers termes de la suite I et construisons le n+1 $^{ieme}$ terme. Si il n'existe pas d'idéal dans $\cal A$ qui soit différent de I,...,I alors on pose I $_{n+1}$ =I. Sinon on choisit un idéal K de $\cal A$ qui n'est pas égal à l'un des I,...,I. La suite (I) $_{n\in IN}$ est ainsi construite par récurrence sur n. Cette suite est, par construction, croissante, et par hypothèse, stationnaire. Il existe donc n $\in$ ${\mathbb{N}}$ tel que $\forall k\in$ ${\mathbb{N}}$ I $_k \subset$ I. Cela signifie qu'au rang n, on ne peut trouver d'idéal I dans $\cal A$ qui ne soit égal à un n premiers termes de la suite (I) $_{n\in IN}$ . Cela signifie aussi que tout les idéaux de $\cal A$ sont sous ensembles de I et que I est élément maximal de $\cal A$ , Cqfd.
Montrons enfin la dernière implication. Supposons donc que toute famille d'idéaux de A possède un élément maximal et montrons que tout idéal est finiment engendré. Soit I un idéal de A. Supposons que I ne soit pas finiment engendré. Alors il existe a $\in$ A tel que I=I+(a) est un idéal de A contenant I mais non contenu dans I. I n'est pas non plus finiment engendré car si c'était le cas, il en serait de même de I. On construit de la même façon un idéal I=I+(b) où b est un élément de A tel que I ne soit pas contenu dans I. Par récurrence on construit une suite (I) $_{n\in IN}$ d'idéaux de A tel que chaque idéal I est inclu strictement dans l'idéal I $_{n+1}$ . Mais la suite (I) $_{n\in IN}$ possède, par hypothèse, un élément maximal et est donc stationnaire. Ceci est en contradiction avec le fait qu'elle soit strictement croissante. L'idéal I est donc finiment engendré.