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Anneaux factoriels

Définition Soit A un anneau. Soient a et b des éléments de A. On dira que a divise b (et on notera a|b) si il existe un élément c de A tel que b=a.c.

Proposition Soient A un anneau, a et b des éléments de A. Si a divise b alors (b) $\subset$ (a).
Démonstration Supposons qu'il existe c $\in$ A tel que b=a.c. Soit x un élément de (b). Alors il existe y dans A tel que x=b.y. Donc x=y.c.a et donc x $\in$ (a). (Rappelons que les anneaux considérés ici sont supposés commutatifs.)

Proposition Définissons la relation $\cal R$ sur l'anneau A par a $\cal R$ b $\Leftrightarrow$ a|b. $\cal R$ est transitive et réflexive.
Démonstration On vérifie facilement que si a|b et b|c alors a|c. On vérifie aussi sans trop de peine que a|a !

Proposition Soit un anneau A, soient a et b des éléments de A et soit $\cal R$ la relation définie précédemment alors: a $\cal R$ b $\Leftrightarrow$ (b) $\subset$ (a).
Démonstration C'est juste la réécriture de la propriété précédente.

Définition On notera A $^{*}$ l'ensemble des éléments inversibles d'un anneau A.

Proposition Soit A un anneau intègre et unitaire, soient deux éléments a et b de cet anneau. On a: (a)=(b) $\Leftrightarrow$ $\exists u \in$ A $^{*}$ a=ub.

Démonstration Supposons que (a)=(b). Si a est nul, b aussi et la propriété est démontrée. Supposons donc que a n'est pas nul. Alors il existe u $\in$ A tel que a=u.b et u' $\in$ A tel que b=u'.a. En particulier a=u.u'.a, ou encore: a(1-u.u')=0. Comme a n'est pas nul et que l'anneau est intègre, cela implique que 1-u.u'=0 ou encore que u.u'=1. u est donc élément de A $^{*}$ .
Supposons maintenant qu'il existe un élément u de A $^{*}$ tel que a=ub. Cette égalité permet d'affirmer que b divise a et donc que (a) $\subset$ (b). Comme u est inversible, on a: b=u $^{-1}$ .a ce qui signifie que a divise b et que (b) $\subset$ (a), Cqfd.

Définition Dans le cas ou a et b sont éléments d'un anneau unitaire A et qu'il existe un élément u de A $^{*}$ tel que a=u.b, on dira que a et b sont des éléments associés de l'anneau.

Définition Soit p un élément d'un anneau A intègre. p est irréductible si il vérifie:

p $\not\in$ A $^{*}$ .
si il existe a et b $\in$ A tels que p=a.b alors a $\in$ A $^{*}$ ou b $\in$ A $^{*}$ .

On notera $\cal P$ l'ensemble des éléments irréductibles de A.

Proposition (p) est maximal $\Rightarrow$ p est irréductible.

Démonstration Supposons que p ne soit pas irréductible. Alors on peut trouver un diviseur a de p qui ne soit pas un élément inversible. Donc (p) $\subset$ (a) et (p) n'est pas maximal.

Proposition Si A est un anneau principal alors: (p) est maximal $\Leftrightarrow$ p est irréductible.

Démonstration Il s'agit donc de démontrer la réciproque dans le cas où les idéaux de l'anneau sont tous de la forme (a) avec a $\in$ A. Supposons que (p) ne soit pas maximal. On peut trouver un idéal I=(a) de A tel que (p) $\subset$ I=(a). Mais a est alors un diviseur de p. Ceci implique que a est ou inversible ou associé à p. Si a est associé à p, (a)=(p). Si a est inversible alors (a)=A. Dans les deux cas, (a) n'est pas un idéal de A contenant (p) autre que A ou (p). Cela prouve la maximalité de (p).

Proposition Soit A un anneau intègre et soit p un élément de A. Supposons que l'idéal (p) est un idéal premier de A. Alors p est un élément irréductible de A.

Démonstration Soient a et b dans A tels que p= a.b. Alors a.b est élément de (p). L'idéal (p) étant premier cela implique que a ou b est élément de (p). Supposons que a $\in$ (p). Alors il existe c $\in$ A tel que a=p.c. On peut écrire: p=p.c.b. Soit encore: p(1-cb)=0. Comme A est intègre, on en déduit que cb=1 et donc que b $\in$ A $^{*}$ . Ceci démontre l'irréductibilité de p.

Définition Deux éléments a et b d'un anneau intègre A sont dits premiers entre eux si ils vérifient: $\forall c \in$ A c|a et c|b $\Rightarrow$ c $\in$ A $^{*}$ .

Définition n éléments a,...,a d'un anneau intègre sont dits premiers entre eux si ils vérifient: $\forall c \in$ A c| a,...,c| a $\Rightarrow$ c $\in$ A $^{*}$ .

Définition Soit A un anneau. A est dit factoriel si il vérifie chacune des 3 propriétés suivantes:

P: A est intègre.
P: Tout élément x non nul de A s'écrit x=u.p. ... . p avec u $\in$ A $^{*}$ et p irréductibles dans A pour i=1,...,n.
P La décomposition précédente, à permutation près des éléments irréductibles et à produit par un inversible près, est unique.

Voila une définition équivalente à la précédente:

Proposition - définition A est factoriel si et seulement si:

P: A est intègre.
P': Tout élément x de A s'écrit

$\displaystyle x=\displaystyle{\prod_{p\in \cal{P}} p^{v_p(x)}}.$
P': On a unicité de l'écriture précédente.

Les entiers v

(x) sont appelés valuation p-adique de x.

Démonstration Il est évident que les propriétés P et P' sont équivalentes. L'unicité de ces deux écritures modulos les remarques faites dans les définitions sont elles aussi équivalentes.

Proposition Si a et b sont des éléments d'un même anneau factoriel alors a|b est équivalent à v(a) $\leq$ v(b) $\forall$ p $\in \cal P$ .

Nous allons énoncer maintenant deux lemmes qui sont équivalent, d'une certaine façon, à l'unicité d'écriture de la décomposition des éléments de l'anneau. Ces deux lemmes servent de pierres angulaires à l'arithmétique.

Théorème Soit A un anneau intègre et vérifiant la propriété P. On a équivalence entre:

A vérifie P.
Le lemme d'Euclide: Si p est irréductible et si p divise ab alors p divise a ou p divise b.
p irréductible $\Leftrightarrow$ (p) est premier.
Le lemme de Gauss: Si c est premier avec a et que c divise ab alors c divise b.

Démonstration Commençons par rappeler que dans un anneau intègre, il est toujours vrai que si (p) est un idéal premier alors p est irréductible. Supposons alors que 2 est vrai et démontrons que p irréductible $\Rightarrow$ (p) est premier. Soit a et b des éléments de A tels que ab $\in$ (p). On sait donc que p|ab. Le lemme d'Euclide permet d'affirmer que p divise a ou que p divise b. Donc que a ou b est élément de (p), Cqfd.

Montrons aussi que 3 $\Rightarrow$ 2. Supposons pour cela que 3 est vrai. Soit p un élément irréductible de A et soient a et b $\in$ A tels que p|ab. ab est alors élément de (p). Cet idéal étant premier, a ou b,nécessairement, est élément de (p). Donc p|a ou p|b. Cela implique le lemme d'Euclide.

On a donc démontré 2 $\Leftrightarrow$ 3.

Montrons maintenant que 1 $\Rightarrow$ 2. Supposons dons que A vérifie P' ( qui est équivalent à P). Soit x un élément irréductible de A et soient a,b $\in$ A tels que x|ab. Il suffit de démontrer que v(a) $\geq$ 1 ou que v(b) $\geq$ 1. Comme les propriétés P' et P' sont, par hypothèse, vérifiées, on peut écrire:

$\displaystyle ab=\displaystyle{u\prod_{p\in \cal{P}} p^{v_p(a.b)}}=\displaystyle{u\prod_{p\in \cal{P}} p^{v_p(a)+v_p(b)}}.$

x divise ce produit, donc v

(ab) $\geq$ 1. Mais pour tout p $\in \cal P$

, v

(ab)=v

(a)+v

(b). Donc v

(a)+v

(b) $\geq$ 1. v

(a) et v

(b) étant des entiers positifs, cela implique que soit v

(a) $\geq$ 1, soit v

(b) $\geq$ 1. C'est à dire, soit x divise a, soit x divise b. Ceci permet de vérifier le lemme d'Euclide.

Montrons que 2 $\Rightarrow$ 1. Si l'anneau A vérifie le lemme d'Euclide, et si a $\in$ A,montrons qu'on a une unique décomposition de a en produit d'éléments irréductibles. Supposons que

$\displaystyle a=\displaystyle{u\prod_{p\in \cal{P}} p^{v_p(a)}}=u'\displaystyle{\prod_{p\in \cal{P}} p^{v'_p(a)}}.$

Nous devons montré que v

(a)=v'

(a) pour tout p $\in \cal P$ . Soit p $\in \cal P$ tel que v

(a) $\geq$ 1. p est donc un diviseur de a. Il divise par conséquent le produit

$\displaystyle a=\displaystyle{u'\prod_{p\in \cal{P}} p^{v'_p(a)}}$

Comme p est premier avec tout les p' $\in \cal P$

qui sont différents de p, il est nécessaire que v'

(a) $\geq$ 1. En répétant ce raisonnement sur

$\displaystyle a=\displaystyle{\prod_{q\in {\cal P},q \neq p} q^{v_q(a)}.p^{v_p(a)-i}}$

et sur

$\displaystyle a=\displaystyle{\prod_{q\in {\cal P},q \neq p} q^{v'_q(a)}.p^{v'_p(a)-i}}$

pour i=1,...,v

(a), on démontre que v

(a) $\geq$ v'

(a). De même on démontrerait que v'

(a) $\geq$ v

(a). On a alors établis que v

(a)=v'

(a). Cela est vrai pour tout p $\in \cal P$ . L'unicité de la décomposition en éléments irréductibles est donc assurée.

Intéressons nous à 4 $\Rightarrow$ 2. Supposons que sur l'anneau A, le lemme de Gauss soit vérifié. Soit p un élément irréductible de A. Soient a,b $\in$ A tels que p|ab. Si p n'est pas premier avec a alors, comme p est irréductible, p divise a, Cqfd ( comme p et a ne sont pas premiers entre eux, il existe d un élément de A tel que d divise a et d divise p. Mais comme p est irréductible, cet élément d est soit inversible soit égal à p. Si il est inversible alors p et a sont premiers entre eux. cet élément d est donc égal à p et p divise bien a). Sinon p est premier avec a et d'après le lemme de Gauss, p divise b.

Cette dernière implication permet de terminer la démonstration de l'équivalence des quatres points du théorème.

Proposition Si A est un anneau intègre et noethérien alors A vérifie P.

Démonstration Considérons l'ensemble $\cal F$ des idéaux de A de la forme (a) ou a est un élément de A qui n'a pas de décomposition de la forme u.p. ... . p où u $\in$ A $^{*}$ et où p $_i\in \cal P$ pour i=1,...,r. On suppose que $\cal F$ est non vide. Comme A est noethérien, $\cal F$ possède un élément maximal (x) pour l'inclusion. Pour tout (a) $\in \cal F$ , (a) $\subset$ (x). Si x était irréductible alors (x) ne serait pas élément de $\cal F$ . Donc on peut écrire x sous la forme x=ab avec a,b $\in$ A et a,b non inversibles. Mais a et b ne peuvent, en même temps, possèder une décomposition en élément irréductible de la forme u.p. ... . p car sinon il en serait de même de leur produit et donc de x. (a) ou (b) est donc élément de $\cal F$ . Supposons que (a) est élément de $\cal F$ , on peut écrire (x) $\subset$ (a). Ceci est en contradiction avec la maximalité de (x). Par conséquent $\cal F$ est vide et tout élément de A possède une décomposition en facteurs irréductibles.