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Pgcd, Ppcm, Théorème de Bezout

Définition - Proposition Soit A un anneau factoriel. Si on considère deux éléments a et b de A, on peut trouver des éléments c et d de A tels que:

(c) soit le plus grand idéal principal de A (au sens de l'inclusion) tel que (c) $\subset$ (a) et (c) $\subset$ (b).
(d) est le plus petit idéal principal de A (au sens de l'inclusion) tel que (a) $\subset$ (d) et (b) $\subset$ (d).

c est le plus petit commun multiple (ppcm) de a et b.
d est le plus grand commun diviseur (pgcd) de a et b.
On notera de plus d=a $\wedge$ b.

Démonstration Il suffit de considérer pour c:

$\displaystyle c=\displaystyle{\prod_{p\in \cal{P}} p^{sup(v_p(a),v_p(b))}}$

et pour d:

$\displaystyle d=\displaystyle{\prod_{p\in \cal{P}} p^{inf(v_p(a),v_p(b))}}.$

Proposition Soit A un anneau principal et soient a,b $\in$ A $\setminus \{0\}$ . Soit c=ppcm(a,b) et d=a $\wedge$ b. c et d vérifient les égalités:

$\displaystyle (c)=(a)\cap(b)$

$\displaystyle (d)=(a)+(b).$

Démonstration Soit x un élément de (c) alors c|x

. Comme a|c et que b|c, a|x et b|x

. Mais x est alors élément de (a) et de (b) donc de (a) $\cap$ (b). De plus, (a) $\cap$ (b) est un idéal de A contenu dans (a) et (b). Comme (c) est le plus grand idéal de A vérifiant cette propriété, (a) $\cap$ (b) est contenu dans (c), d'où l'inclusion réciproque.
Soit x un élément de (a)+(b). Alors il existe des éléments k et k' de A tels que x=ka+k'b. Mais d divise a et b donc d divise une combinaison linéaire de leur somme et d divise donc x. x est alors élément de (d). Donc (a)+(b) $\subset$ (d). De plus (a) $\subset$ (a)+(b) et (b) $\subset$ (a)+(b). (a)+(b) est donc un idéal de A qui contient (a) et (b). Il est par définition de (d) contenu dans (d). Donc (d)=(a)+(b).

Théorème de Bezout A est un anneau principal. Alors a et b sont des éléments de A premiers entre eux si et seulement si il existe u et v dans A tels que au+bv=1.
Démonstration Supposons que a et b sont premiers entre eux, a $\wedge$ b=1. On en déduit que (a)+(b)=A. En particulier, il existe u et v dans A tels que au+bv=1. Réciproquement si il existe u et v tel que au+bv=1, alors si d est un élément de A qui divise à la fois a et b, il existe a' et b' dans A tels que a=d.a' et b=d.b'. Mis dans l'égalité précédente, cela donne: d(a'.u+b'.v)=1. Cette égalité signifie que d est inversible et donc élément de A $^{*}$ . a et b sont donc bien premiers entre eux.

Définition De la même façon que l'on a défini le pgcd de deux éléments d'un anneau principal A, on peut définir le pgcd de n éléments a,...,a de cet anneau: c'est le générateur du plus petit idéal de A qui contient chacun des idéaux (a).

Définition On peut encore définir le ppcm de n éléments a,...,a d'un anneau principal en affirmant que c'est le générateur du plus grand idéal de A qui est contenu dans chacun des (a).

Proposition de Bezout généralisée Soit A un anneau principal. Soient a,...,a des éléments de A. On a équivalence entre a,...,a sont premiers entre eux et pgcd(a,...,a)=1.

Démonstration La démonstration est absolument l'analogue de celle faite pour le théorème de Bezout précédent.