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Qui sont-ils?

Définition Soit A un anneau. On appelle polynôme sur A ou à coefficient dans A toute application P vérifiant:

P:A $\rightarrow$ A.
Il existe n $\in$ ${\mathbb{N}}$ et a,...,a dans A tels que $\forall$ x $\in$ A, P(x)=a+aX+...+aX $^{n}$ .

Les éléments a

de P sont appelés les coefficients de P.
a

X $^{i}$ est le terme de degré i de P.
a

est le coefficient du terme de degré i.
L'ensemble des polynômes sur A est noté A[X].

Remarque Le polynôme nul est le polynôme ayant comme coefficient pour le terme de degré i l'élément nul de A et ce pour tout i dans ${\mathbb{N}}$ .

Remarquons que pour tout n $\in$ ${\mathbb{N}}$ , le polynôme P possède un terme de degré n. Dans le pire des cas, ce terme est nul.

Définition Un polynôme P de la forme P(X)=aX $^{k}$ est appelé un monôme de degré k.

Définition Soit A un anneau. Soient P et Q des polynômes sur A définis par :

$\begin{displaymath}P(X)={\displaystyle \sum_{i=0}^n a_i x^i}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}Q(X)={\displaystyle \sum_{i=0}^m b_i X^i}.\end{displaymath}$

On définit la somme de P et Q comme étant le polynôme noté P+Q et dont le terme d'ordre i a pour coefficient a

On définit aussi le produit des deux polynômes P et Q par le polynôme que l'on note PQ ou P.Q et dont le coefficient du terme de degré i vaut $\sum_{k=0}^i a_k.b_{i-k}$ .

Proposition Soit A un anneau. L'ensemble A[X] des polynômes définit sur A muni de la multiplication et de l'addition précédemment définies possède une structure d'anneau.

Démonstration C'est facile à vérifier mais un peu long à écrire dans un traitement de texte.