Propriétés de A passants sur A[X]

Proposition Si A est un anneau noethérien alors A[X] est aussi noethérien.

Démonstration Supposons que A est noethérien. Considérons, pour n donné dans ${\mathbb{N}}$ , et I un idéal de A[X], l'ensemble d(I) qui est la réunion de l'ensemble des coefficients dominants des polynômes de degré n de I et du sous ensemble de A constitué de l'élément nul. On montre sans problème que d(I) est un idéal de A. De plus:

Pour tout n dans ${\mathbb{N}}$ , si I $\subset$ J alors d(I) $\subset$ d(J).
Pour tout n dans ${\mathbb{N}}$ , d(I) $\subset$ d $_{n+1}$ (J).
Si I $\subset$ J, on a équivalence entre I=J et $\forall n\in$ ${\mathbb{N}}$ d(I)=d(J).

La première propriété est évidente. Pour la seconde, il suffit de remarquer que si a est le coefficient dominant du polynôme P de degré n de I, alors X.P est encore un polynôme de I de coefficient dominant a mais de degré n+1. La troisième propriété est un peu plus difficile à établir. Le sens direct ne pose pas de problème. Supposons que I $\subset$ J et que $\forall n\in$ ${\mathbb{N}}$ d(I)=d(J). Supposons aussi qu'il existe des polynômes de J qui ne soient pas éléments de I. Soit P $\neq$ 0 un polynôme de degré minimal vérifiant cette propriété. Soit n le degré de P et a son coefficient dominant. Par hypothèse, a est aussi élément de d(I). Soit alors Q un élément de I de degré n ayant a comme coefficient dominant. Comme I $\subset$ J, et que J est un idéal, P-Q est élément de J. Mais P-Q n'est pas élément de I car sinon il en serait de même de P. Cependant P-Q est un polynôme de degré plus petit que celui de P et qui vérifie la propriété de ne pas appartenir à I. Notre hypothèse de départ est donc fausse. Par conséquent I=J.
Nous sommes maintenant en mesure de démontrer que A[X] est noethérien.
Soit (I) $_{n\in\mathbb{N}}$ une suite croissante d'idéaux de A. L'ensemble des idéaux de la forme d(I) pour n,k $\in$ ${\mathbb{N}}$ possède, comme A est noethérien un élément maximal que l'on note d(I). D'autre part pour tout k $\leq$ m la suite d(I) est croissante relativement à n. Donc pour tout k $\leq$ m, on peut trouver n $_k\in$ ${\mathbb{N}}$ tel que d(I $_{n_k}$ ) soit élément maximal de cette suite. Choisissons pour j l'élément maximal de la famille constituée de l et de n,...,n.
On va montrer que $\forall i \geq j$ I=I.
Remarquons que, comme on a l'inclusion I $_j \subset$ I, il suffit de démontrer que d(I)=d(I) pour tout n $\in$ ${\mathbb{N}}$ .Mais:
si p<m,alors d(I)=d(I $_{n_p}$ )=d(I).
si p $\leq$ m, d(I)=d(I). L'égalité est ainsi établie, Cqfd.

Proposition Soit A un anneau. A[X] est principal si et seulement si A est un corps.

Démonstration Si A est un corps, alors tout polynôme de A[X] a son coefficient dominant inversible. La division Euclidienne est donc définie sur A[X]. De plus si A est un corps, alors A est intègre et A[X] aussi. A[X] est donc Euclidien. Mais tout anneau Euclidien est principal.
Supposons maintenant que A[X] est principal. A est nécessairement intègre. La notion de degré d'un polynôme de A[X] est donc correctement définie. Si le polynôme P(X)=X n'était pas irréductible, il aurait une décomposition de la forme M.N où M et N sont des éléments de A[X]. Mais deg(M).deg(N)=1. Ce qui n'est possible que si, par exemple, M est de degré nul dans A[X] et N de degré 1. M s'écrit donc N(X)=a où a $\in$ A et N(X)=b.X. Mais M.N=X implique que a.b=1. M est donc un élément invesible de A. P est alors nécessairement irréductible. Rappelons qu'un anneau principal est factoriel. On a donc équivalence entre X est irréductible et (X) (= l'idéal engendré par X dans A[X]) est un idéal premier dans A[X]. Ceci, associer à la principalité de A[X] permet d'affirmer que (X) est un idéal maximal dans A[X]. Par conséquent A[X]/(X) est un corps. Mais A[X]/(X) $\simeq$ A, donc A est un corps.