Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures

A lire

Deug/Prépa

Licence

Agrégation
A télécharger

Télécharger

personnes(s) sur le site en ce moment.

A. Grothendieck

A lire

Articles

Math/Infos

Récréation
A télécharger

Télécharger

Théorème de Cantor-Bernstein

Théo. Sylow

Théo. Ascoli

Théo. Baire

Loi forte grd nbre

Nains magiques

suivant: Cas où est transcendant monter: Extensions bbaa1 simples précédent: Extensions bbaa1 simples

Cas où est algébrique sur

$I\left( a\right) =Ker\left( \sigma\right)$ , est un idéal non nul de $K\left[ X\right]$ . Mais $K\left[ X\right]$ est un anneau principal. Donc $Ker\left( \sigma\right)$ est principal. D'un autre côté, deux générateurs de $I\left( a\right)$ sont tels que l'un d'eux est le produit de l'autre par un élément de $K^{\ast}$ , il en résulte que cet idéal possède un générateur unitaire et un seul.

Définition Le générateur unitaire de $I\left( a\right) =Ker\left( \sigma\right)$ sera noté et appelé le polynôme minimal de sur .

Exemple est algébrique sur $\mathbb{R}$ et $Irr(i,\mathbb{R})=X^{2}+1$ .

Exemple $\sqrt{2}$ est algébrique sur $\mathbb{Q}$ et $Irr(i,\mathbb{Q})=X^{2}-2$ .

Théorème Le polynôme est irréductible dans $K\left[ X\right]$ .

Démonstration Sinon, on pourra l'écrire sous la forme où et sont deux polynômes de degré inférieur au degré de . Mais, nous avons

$\displaystyle g\left( a\right) h\left( a\right) =\left( gh\right) \left( a\right) =Irr(a,K)\left( a\right) =0$

qui implique $g\left( a\right) =0$ ou $h\left( a\right) =0$ . Dans le premier cas, nous aurons $g\in I\left( a\right)$ et

divise

, et dans le second cas, $h\in I\left( a\right)$ et

divise

ce qui est impossible vu les degrés de ces polynômes.

Remarque Nous avons

$\displaystyle \left[ f\left( a\right) =0\right] \Longleftrightarrow\left[ f\in ... ... a\right) \right] \Longleftrightarrow\left[ Irr(a,K)\text{ divise }f\right]$

Le théorème précédent justifie la notation pour le polynôme minimal de sur .

Théorème

Soient L et E des extensions du corps K. Si $K\subseteq L\subseteq E=K\left( a\right)$ , alors $E=L\left( a\right)$ et divise dans $L\left[ X\right]$ .

Démonstration est un sous-corps de contenant $L\cup\left\{ a\right\}$ . Si est un sous-corps de contenant $L\cup\left\{ a\right\}$ , alors contient $K\cup\left\{ a\right\}$ et $E\subseteq H$ car est le plus petit sous-corps de contenant $K\cup\left\{ a\right\}$ . Donc est le plus petit sous-corps de contenant $L\cup\left\{ a\right\}$ , ce qui prouve $E=L\left( a\right)$ . Le polynôme appartient à $L\left[ X\right]$ et vérifie $Irr(a,K)\left( a\right) =0$ . Il en résulte que divise dans $L\left[ X\right]$ .

Théorème Si est algébrique sur , alors

$\displaystyle K\left( a\right) =K\left[ a\right] \approx K\left[ X\right] /I\left( a\right)$

où $I\left( a\right)=\{P(a); P\in K[X]\}$ .

Démonstration Considérons l'homomorphisme $\sigma$ défini par
$\sigma\left( P\right) =P\left( a\right)$ pour tout $P\in K\left[ X\right]$ . Nous avons

$\displaystyle K\left[ a\right] =\operatorname{Im}\left( \sigma\right) \approx K... ...right] /Ker\left( \sigma\right) \approx K\left[ X\right] /I\left( a\right) .$

Il en résulte que $K\left[ a\right]$ est un corps

car l'idéal $I\left( a\right)$ est maximal

. Ceci prouve $K\left( a\right) =K\left[ a\right]$ et par suite $K\left( a\right) =K\left[ a\right] \approx K\left[ X\right] /I\left( a\right)$ .

Théorème Soit a algébrique sur le corps k. Si $n=deg\left( Irr\left( a,K\right) \right)$ , alors $E=K\left( a\right)$ est une extension de degré et $\left\{ 1,a,a^{2}%% ,...,a^{n-1}\right\}$ est une base du -espace vectoriel .

Démonstration Les éléments $1,a,a^{2},...,a^{n-1}$ sont linéairement indépendants car sinon, on peut trouver un polynôme non nul de degré inférieur ou égal à dont est une racine. Ce polynôme appartiendrait à $I\left( a\right)$ ce qui est impossible car $I\left( a\right)$ est engendré par un polynôme de degré . Pour prouver que ces éléments forment un système de générateurs du -espace vectoriel , il suffit de démontrer que

$\displaystyle a^{m}\in Vect\left( 1,a,a^{2},...,a^{n-1}\right)$

pour tout $m\in\mathbb{N}$ car tout élément de $K\left( a\right) =K\left[ a\right]$ s'écrit sous la forme $x=\alpha_{0}+\alpha _{1}a+\cdot\cdot\cdot+\alpha_{q}a^{q}$ . Ceci est vrai pour $m\leq n-1$ . Si $m\geq n$ , alors

s'écrit

. Nous allons démontrer $a^{m}\in Vect\left( 1,a,a^{2},...,a^{n-1}\right)$ par récurrence sur

. Si

, alors

. En écrivant $Irr\left( a,K\right)$ sous la forme

$\displaystyle Irr\left( a,K\right) =b_{0}+b_{1}X+\cdot\cdot\cdot+b_{n-1}X^{n-1}+X^{n},$

on obtient

$\displaystyle b_{0}+b_{1}a+\cdot\cdot\cdot+b_{n-1}a^{n-1}+a^{n}=0$

$\displaystyle a^{n}=c_{0}+c_{1}a+\cdot\cdot\cdot+c_{n-1}a^{n-1}\in Vect\left( 1,a,a^{2},...,a^{n-1}\right)$

où $c_{i}=-b_{i}$ pour

Supposons que

$\displaystyle a^{n+r}=t_{0}+t_{1}a+\cdot\cdot\cdot+t_{n-1}a^{n-1}\in Vect\left( 1,a,a^{2},...,a^{n-1}\right)$

alors nous avons

$\displaystyle a^{n+r+1}=aa^{n+r}=at_{0}+t_{1}a^{2}+\cdot\cdot\cdot+t_{n-1}a^{n}\in Vect\left( 1,a,a^{2},...,a^{n-1}\right)$

car

$\displaystyle at_{0}+t_{1}a^{2}+\cdot\cdot\cdot+t_{n-2}a^{n-1}\in Vect\left( 1,a,a^{2}%% ,...,a^{n-1}\right)$ $\displaystyle %%$

$\displaystyle t_{n-1}a^{n}\in Vect\left( 1,a,a^{2},...,a^{n-1}\right)$

Il en résulte $a^{m}\in Vect\left( 1,a,a^{2},...,a^{n-1}\right)$ pour tout $m\in\mathbb{N}$ . Ceci prouve $\left[ E:K\right] =\dim_{K}\left( E\right) =n$ .