A lire

Deug/Prépa

Licence

Agrégation
A télécharger

Télécharger

personnes(s) sur le site en ce moment.

A. Grothendieck

A lire

Articles

Math/Infos

Récréation
A télécharger

Télécharger

Théorème de Cantor-Bernstein

Théo. Sylow

Théo. Ascoli

Théo. Baire

Loi forte grd nbre

Nains magiques

suivant: Cas où est fini monter: Extensions simples précédent: Extensions algébriques

Simplicité d'une extension

Le but de ce paragraphe est de prouver qu'une extension finie de est simple si, et seulement si, l'ensemble des corps inermédiaires entre et est fini. Ceci découlera des théorèmes suivants :

Théorème Si $E=K\left( a\right)$ , où est algébrique sur , et si est un corps intermédiaire entre et , alors divise et
$L=K\left( a_{1},a_{2},...,a_{n-1}\right)$ où $a_{1},a_{2},...,a_{n-1}$ sont les coéfficients de .

Démonstration Soit $H=K\left( a_{1},a_{2},...,a_{n-1}\right)$ . Nous avons

$\displaystyle K\subseteq H\subseteq L\subseteq E=K\left( a\right).$

appartient à $H\left[ X\right]$ et est irréductible

dans $H\left[ X\right]$ car il est irréductible dans $L\left[ X\right]$

( $H\left[ X\right] \subseteq L\left[ X\right]$ ). Il en résulte

$\displaystyle Irr(a,H)=irr(a,L)$ et $\displaystyle H\left( a\right) =E=L\left( a\right) .$

Ce qui précède implique

$\displaystyle \left[ E:H\right] =\deg\left( Irr\left( a,H\right) \right) =\deg(Irr\left( a,L\right) )=\left[ E:L\right]$

$\displaystyle \left[ L:H\right] =\frac{\left[ E:H\right] }{\left[ E:L\right] }=1.$

D'où

Théorème Si $E=K\left( a\right)$ est une extension simple, alors l'ensemble des corps intermédiaires entre et est fini.

Démonstration Soit $\varphi$ l'application de l'ensemble des corps intermédiaires dans celui des facteurs de qui associe à le facteur . Cette application est injective, car si $Irr(a,L)=Irr(a,L^{\prime})$ , alors et $L^{\prime}$ sont tous les deux égaux au corps engendré sur par les coefficients du polynôme $Irr(a,L)=Irr(a,L^{\prime})$ . On en déduit que l'ensemble des corps intermédiaires est fini car l'ensemble des facteurs de est fini.