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Toutes les extensions considérées dans ce chapitre seront finies

. Soit

une extension de

et $N^{\prime}$ deux clôtures normales

l'ensemble des

-isomorphismes

dans

et $I^{\prime}$ celui des

-isomorphismes de

dans $N^{\prime}$ .

Démonstration

et $N^{\prime}$ sont deux clôtures normales de

. Il existe un

-isomorphisme $\sigma$ de

sur $N^{\prime}$ . Soit $\varphi ;I\longrightarrow I^{\prime}$ l'application définie par $\varphi\left( u\right) =\sigma\circ u$ . Il est facile de prouver que l'application $\varphi$ est bijective. Donc $Card(I)=Card(I\prime)$ .

Définition On appelle degré galoisien d'une extension

, le cardinal de l'ensemble des

-isomorphismes

dans une clôture normale

.
La définition du degré galoisien ne dépend pas du choix de la clôture normale de

d'après le théorème précédent

. Le degré galoisien de l'extension

sera noté $\overline {\left[ E:K\right] }$ .

Théorème Soit

une extension normale de

contenant une clôture normale

. Le degré galoisien $\overline {\left[ E:K\right] }$

est égal au cardinal de l'ensemble des

-isomorphismes

dans

Démonstration Soit

l'ensemble des

-isomorphismes de

dans

. Nous avons $I\subseteq J$ . Réciproquement, tout $\sigma\in J$ peut être prolongé en un

-automorphisme $\overline{\sigma}$ de

, car

est une extension normale de

. La restriction de $\overline{\sigma}$ à

est un

-automorphisme de

car

est une extension normale de

. Nous avons $\sigma\left( E\right) \subseteq\overline{\sigma}\left( E\right) \subseteq\overline{\sigma}\left( N\right) =N$ . Il en résulte que, $\sigma$ est, en réalité, un

-isomorphisme de

dans

c.à.d. $\sigma\in I$ . D'où

Théorème Soit $E^{\prime}$ une extension de $K^{\prime}$ . Si $\overline{\sigma}$ est un isomorphisme de

sur $E^{\prime}$ tel que sa restriction $\sigma$ à

est un isomorphisme de

sur $K^{\prime}$ , alors $\overline{\left[ E:K\right] }=\overline{\left[ E^{\prime}:K^{\prime}\right] }$

Démonstration Soit

une clôture normale

et $N^{\prime}$ une clôture normale de $E^{\prime}$ . L'isomorphisme $\overline{\sigma}$ peut être prolongé en un isomorphisme $\sigma^{\prime}$ de

sur $N^{\prime}$ . L'application $\varphi$ qui associe à chaque

-isomorphisme

dans

, le $K^{\prime}$ -isomorphisme $u^{\prime}=\sigma\circ u\circ \sigma^{-1}$ de $E^{\prime}$ dans $N^{\prime}$ est bijective. Il en résulte $\overline{\left[ E:K\right] }=\overline{\left[ E^{\prime}:K^{\prime}\right] }$ .

Théorème Si nous avons $K\subseteq L\subseteq E$ , alors $\overline{\left[ E:K\right] }=\overline{\left[ E:L\right] }\times\overline{\left[ L:K\right] }$

Démonstration Soit

une clôture normale

. Pour tout

-isomorphisme

$\sigma$ de

dans

, on note $J_{\sigma}$ l'ensemble de tous les

-isomorphismes de

dans

qui prolongent $\sigma$ . Si $\overline{\sigma}\in J_{\sigma}$ , alors $\overline{\sigma}\left( E\right)$ est un corps intermédiaire entre $\sigma\left( L\right)$ et

. Soit $I_{\sigma}$ l'ensemble des tous les $\sigma\left( L\right)$ -isomorphismes de $\overline{\sigma}\left( E\right)$ dans

. Nous allons prouver que $I_{\sigma}$ et $J_{\sigma}$ ont le même cardinal. Considérons l'application $f;I_{\sigma }\longrightarrow J_{\sigma}$ définie par $f\left( u\right) =u\circ\overline{\sigma}$ . Il est facile de voir que

est injective. Elle est aussi surjective; car si $u^{\prime}\in J_{\sigma}$ , $u^{\prime}$ peut s'écrire sous la forme $u^{\prime}=f\left( u^{\prime}\circ\overline {\sigma}^{-1}\right)$ , car $\overline{\sigma}$ peut être regardé comme un isomorphisme de

sur $\overline{\sigma}\left( E\right)$ . Or, nous avons $Card\left( I_{\sigma}\right) =\overline{\left[ \overline {\sigma}\left( E\right) :\sigma\left( L\right) \right] }$ et, d'après le théorème précédent

, $\overline{\left[ \overline{\sigma }\left( E\right) :\sigma\left( L\right) \right] }=\overline{\left[ E:L\right] }$ . D'où $Card\left( I_{\sigma}\right) =\overline{\left[ E:L\right] }$ . Pour terminer la démonstration, remarquons que $\left( J_{\sigma}\right)$ est une partition de l'ensemble

des tous les

-isomorphismes de

dans

. Ainsi, nous avons

$\displaystyle \overline{\left[ E:K\right] }$	$\displaystyle =Card\left( J\right) =\sum \limits_{\sigma}Card\left( J_{\sigma}\right) =\sum\limits_{\sigma }Card\left( I_{\sigma}\right)$
	$\displaystyle =\sum\limits_{\sigma}\overline{\left[ E:L\right] }=\overline{\left[ E:L\right] }\times\overline{\left[ L:K\right] }$

Théorème Si $E=K\left( a\right)$

, alors $\overline {\left[ E:K\right] }$

est le nombre des racines distinctes de $Irr\left( a,K\right)$

Démonstration Soit

une clôture normale

l'ensemble des tous les

-isomorphismes de

dans

l'ensemble des racines distinctes de $Irr\left( a,K\right)$ dans

. L'application de

dans

qui associe $\sigma$ à $\sigma\left( a\right)$ est bijective. D'où $\overline{\left[ E:K\right] }=Card\left( I\right) =Card\left( A\right)$ .

Corollaire Si $E=K\left( a\right)$

, alors $\overline{\left[ E:K\right] }\leq\left[ E:K\right]$

Théorème Si

est une extension finie

, alors

$\overline{\left[ E:K\right] }\leq\left[ E:K\right]$

Démonstration Comme

est une extension finie de

, elle s'écrit
$E=K\left( a_{1},...,a_{n}\right)$

. Si $K_{i}=K\left( a_{1},...,a_{i}%% \right)$ , alors $K_{i}=K_{i-1}\left( a_{i}\right)$ . Démontrons par récurrence sur

que $\overline{\left[ K_{i}:K\right] }\leq\left[ K_{i}:K\right]$ . Pour

, la propriété est vraie car nous avons

$\displaystyle \overline{\left[ K_{1}:K\right] }=\overline{\left[ K\left( a_{1}\... ... :K\right] }\leq\left[ K\left( a_{1}\right) :K\right] =\left[ K_{1}:K\right]$

$\displaystyle \overline{\left[ K_{i+1}:K\right] }=\overline{\left[ K_{i+1}:K_{i... ...t[ K_{i+1}:K_{i}\right] \times\left[ K_{i}:K\right] =\left[ K_{i+1}:K\right]$

$\displaystyle \overline{\left[ E:K\right] }=\overline{\left[ K_{n}:K\right] }\leq\left[ K_{n}:K\right] =\left[ E:K\right]$

Degré de Galois d'une extension