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Extensions Séparables

Soit une extension of .

Définition L'extension de sera dite séparable si, et seulement si, $\overline{\left[ E:K\right] }=\left[ E:K\right]$ .

Exemple $\mathbb{C}$ est une extension séparable de $\mathbb{R}$ .

Définition Un élément d'une extension de sera dit séparable sur si, et seulement si, toutes les racines de $Irr\left( a,K\right)$ sont simples.

Exemple est séparable sur $\mathbb{R}$ . $\sqrt{2}$ séparable sur $\mathbb{Q}$ .

Théorème Une extension simple $E=K\left( a\right)$ est séparable si, et seulement si, est séparable sur .

Démonstration Soit $\left[ E:K\right] =n=\deg\left( Irr\left( a,k\right) \right)$ . Nous avons

$\displaystyle \left[ E\text{ est séparable sur }K\right]$	$\displaystyle \Longleftrightarrow \left[ \overline{\left[ E:K\right] }=\left[ E:K\right] \right]$
	$\displaystyle \Longleftrightarrow\left[ Irr\left( a,K\right) \text{ possède }n\text{ racines distinctes}\right]$
	$\displaystyle \Longleftrightarrow\left[ \text{toute racine de }Irr\left( a,K\right) \text{ est simple}\right]$
	$\displaystyle \Longleftrightarrow\left[ a\text{ est séparable sur }K\right]$

Théorème Une extension finie de est séparable si, et seulement si, tout élément de est séparable sur .

Démonstration Si est séparable sur , Alors nous avons

$\displaystyle \overline{\left[ E:K\left( a\right) \right] }\times\overline{\left[ K\left( a\right) :K\right] }$	$\displaystyle =\overline{\left[ E:K\right] }=\left[ E:K\right]$
	$\displaystyle =\left[ E:K\left( a\right) \right] \times\left[ K\left( a\right) :K\right]$

$\displaystyle \overline{\left[ E:K\left( a\right) \right] }\leq\left[ E:K\left( a\right) \right]$ et $\displaystyle \overline{\left[ K\left( a\right) :K\right] }\leq\left[ K\left( a\right) :K\right]$

D'où

$\displaystyle \overline{\left[ E:K\left( a\right) \right] }=\left[ E:K\left( a\right) \right]$ et $\displaystyle \overline{\left[ K\left( a\right) :K\right] }=\left[ K\left( a\right) :K\right]$

est séparable sur

. Réciproquement,

s'écrit $E=K\left( a_{1},...,a_{n}\right)$

car elle est une extension finie de

. Posons $K_{i}=K\left( a_{1},...,a_{i}\right)$ . Nous avons $K_{i}%% =K_{i-1}\left( a_{i}\right)$ , $Irr\left( a_{i},K_{i-1}\right)$ divise $Irr\left( a_{i},K\right)$ et $a_{i}$ est séparable sur

. Il en résulte que $a_{i}$ est séparable sur $K_{i-1}$ et $\overline{\left[ K_{i}:K_{i-1}\right] }=\left[ K_{i}:K_{i-1}\right]$ pour

. Il en résulte

$\displaystyle \overline{\left[ E:K\right] }=\prod\limits_{i=1}^{i=n}\left[ K_{i}%% :K_{i-1}\right] =\left[ E:K\right]$

ce qui prouve que

est séparable sur

Théorème de l'élément primitif. Toute extension séparable finie de est simple.

Démonstration Il suffit de prouver que l'ensemble des corps intermédiaires entre et est fini. Soit $\mathcal{F}$ cet ensemble et l'ensemble des tous les -isomorphismes de dans une clôture normale . Soit $h:\mathcal{F}%% \longrightarrow P\left( I\right)$ l'application qui associe à $L\in\mathcal{F}$ le sous-ensemble de défini par

$\displaystyle \left\{ \sigma\in I\quad/\quad\sigma\left( a\right) =a\text{ pour tout }a\in L\right\} .$

Cette application est injective; car si $L\neq L^{\prime}$ , et si $a\in L-L^{\prime}$ , alors

est séparable

sur

, ce qui prouve que

est séparable sur $L^{\prime}$ . D'où

$\displaystyle \overline{\left[ L^{\prime}\left( a\right) :L^{\prime}\right] }=\left[ L^{\prime}\left( a\right) :L^{\prime}\right] >1.$

Ce qui précède montre qu'il existe un $L^{\prime}$ -isomorphisme $\sigma$ de $L^{\prime}\left( a\right)$ dans

tel que $\sigma\left( a\right) \neq a$ . Or $\sigma$ peut être prolongé en un

-automorphisme $\overline{\sigma}$ de

car

est une clôture normale

. La restriction $\sigma^{\ast}$ de $\overline{\sigma}$ à

est un

-isomorphisme de

dans

qui vérifie $\sigma^{\ast}\left( a\right) =\overline{\sigma}\left( a\right) =\sigma\left( a\right) \neq a$ . Il en résulte $\sigma^{\ast}\in h\left( L^{\prime}\right)$ et $\sigma^{\ast}\notin h\left( L\right)$ qui prouve $h\left( L\right) \neq h\left( L^{\prime}\right)$ . Pour finir la démonstration, notons que l'ensemble $P\left( I\right)$ des parties de

est fini car

est fini.

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