Groupe de Galois

Soit une extension normale finie d'un corps . L'ensemble des
-automorphismes de forment un groupe pour la composition d'application.

Définition Soit une extension normale finie d'un corps . Le groupe de tous les -automorphismes de sera appelé le groupe de Galois de l'extension de . Le groupe de Galois d'une extension de sera noté $G\left( E/K\right)$ .

Exemple $\mathbb{C}$ est une extension normale finie de $\mathbb{R}$ . Son groupe de Galois possède deux éléments : l'identité et le $\mathbb{R}%%$ -automorphisme $\sigma$ qui associe à chaque nombre complexe son conjugué $\overline{z}$ .

Théorème Soit une extension normale finie d'un corps . $G\left( E/K\right)$ est un groupe fini dont l'ordre est le degré galoisien $\overline{\left[ E:K\right] }$ de l'extension.

Démonstration $G\left( E/K\right)$ est l'ensemble de tous les -isomorphismes de dans une clôture normale de . Or est sa propre clôture normale car elle est une extension normale de . D'où $G\left( E/K\right) =I$ .