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EXEMPLE

Soit le corps des racine du polynôme $X^{4}-2\in\mathbb{Q}\left[ X\right]$ sur $\mathbb{Q}$ . Nous avons $R=\mathbb{Q}\left( i,\sqrt[4] {2}\right)$ .

Degré de $\mathbf{R}$ sur $\mathbb{Q}$ : Nous avons $\left[ R:\mathbb{Q}\right] =\left[ R:\mathbb{Q}\left( \sqrt[4]{2}\right) \right] \left[ \mathbb{Q}\left( \sqrt[4]{2}\right) :\mathbb{Q}\right]$ . $\left[ \mathbb{Q}\left( \sqrt{2}\right) :\mathbb{Q}\right] =4$ , car $X^{4}-2$ est irréductible dans $\mathbb{Q}\left[ X\right]$ . $\left[ R:\mathbb{Q}\left( \sqrt[4]{2}\right) \right] =2$ , car $Irr\left( i,\mathbb{Q}\left( \sqrt[4]{2}\right) \right) =X^{2}+1$ . D'où $\left[ R:\mathbb{Q}\right] =8$ .

Groupe $G\left( R/\mathbb{Q}\right)$ : Si $\sigma\in G\left( R/\mathbb{Q}\right)$ , alors

$\sigma\left( i\right)$ est une racine de $X^{2}+1$ . Donc $\sigma\left( i\right) =\pm i$ .
$\sigma\left( \sqrt[4]{2}\right)$ est une racine de $X^{4}-2$ . Donc

$\displaystyle \sigma\left( \sqrt[4]{2}\right) =\pm\sqrt[4]{2}$
ou

$\displaystyle \sigma\left( \sqrt[4]{2}\right) =\pm i\sqrt[4]{2}$
.

Or $\sigma$ est complètement déterminé par son action sur et $\sqrt[4]{2}$ car ces éléments engendrent sur $\mathbb{Q}$ . Il en résulte que le groupe de Galois de l'extension de $\mathbb{Q}$ est

	Groupe de Galois de l'extension de $\displaystyle R/\mathbb{Q}$
	$\displaystyle \begin{tabular}[c]{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\ver... ...$ & $-\sqrt[4]{2}$ & $i\sqrt[4]{2}$ & $-i\sqrt[4]{2}$ \hline \end{tabular}$

La loi de composition de ce groupe est définie par le tableau suivant

$\displaystyle \begin{tabular}[c]{\vert l\vert l\vert l\vert l\vert l\vert l\ver... ...{4}$ & $\sigma_{3}$ & $\sigma_{2}$ & $\sigma_{1}$ \hline \end{tabular}$

Sous-groupes de $G\left( R/\mathbb{Q}\right)$ :

Sous-groupe d'ordre 1 : $\left\{ \sigma_{1}\right\}$
Sous-groupe d'ordre 2 : $A=\left\{ \sigma_{1},\sigma_{2}\right\}$ , $B=\left\{ \sigma_{1},\sigma_{5}\right\}$ , $C=\left\{ \sigma_{1} ,\sigma_{6}\right\}$ , $D=\left\{ \sigma_{1},\sigma_{7}\right\}$ et $E=\left\{ \sigma_{1},\sigma_{8}\right\}$ .
Sous-groupe d'ordre 4 : $F=\left\{ \sigma_{1},\sigma_{2},\sigma _{3},\sigma_{4}\right\}$ , $G=\left\{ \sigma_{1},\sigma_{2},\sigma _{5},\sigma_{6}\right\}$ et $H=\left\{ \sigma_{1},\sigma_{2},\sigma _{7},\sigma_{8}\right\}$ .
Sous-groupe d'ordre : $G\left( R/\mathbb{Q}\right)$ .

Diagramme des sous-groupes :

$\begin{displaymath} \begin{array}[c]{ccccccccccccc} & & & & & & G\left( R/\math... ...& & & & & \left\{ \sigma_{1}\right\} & & & & & & \end{array} \end{displaymath}$

Diagramme des corps intermédiaires :

$\begin{displaymath} \begin{array}[c]{ccccccccccccc} & & & & & & G\left( R/\math... ...& & & & & \left\{ \sigma_{1}\right\} & & & & & & \end{array} \end{displaymath}$

où $C\left( M\right)$ est le corps intermédiaire associé au sous-groupe

de $G\left( R/\mathbb{Q}\right)$ . Pour déterminer ces corps intermédiaires, on considère une base du $\mathbb{Q}$ -espace vectoriel

exprimée en termes de

et $\sqrt[4]{2}$ . Nous avons la base

$\displaystyle \left\{ 1,\sqrt[4]{2},\left( \sqrt[4]{2}\right) ^{2},\left( \sqrt... ...]{2},i\left( \sqrt[4]{2}\right) ^{2},i\left( \sqrt[4]{2}\right) ^{3}\right\}$

obtenue en multipliant terme à terme la base $\left\{ 1,\sqrt[4] {2},\left( \sqrt[4]{2}\right) ^{2},\left( \sqrt[4]{2}\right) ^{3}\right\}$ de l'extension $\mathbb{Q}\left( \sqrt[4]{2}\right)$ de $\mathbb{Q}$ et la base $\left\{ 1,i\right\}$ de l'extension

de $\mathbb{Q}\left( \sqrt[4]{2}\right)$ . Un élément $x\in R$ s'écrit, d'une manière unique, sous la forme

$\displaystyle x=b_{0}+b_{1}\sqrt[4]{2}+b_{2}\left( \sqrt[4]{2}\right) ^{2}+b_{3... ...}+c_{2}i\left( \sqrt[4] {2}\right) ^{2}+c_{3}i\left( \sqrt[4]{2}\right) ^{3}$

Pour déterminer $C\left( A\right)$ , on utilise l'équivalence

$\displaystyle \left[ x\in C\left( A\right) \right] \Longleftrightarrow\left[ \sigma _{2}\left( x\right) =x\right]$

$\displaystyle \sigma_{2}\left( x\right) =b_{0}-b_{1}\sqrt[4]{2}+b_{2}\left( \sq... ...2}+c_{2}i\left( \sqrt[4]{2}\right) ^{2}-c_{3}i\left( \sqrt[4]{2}\right) ^{3}$

Donc

$\displaystyle \left[ x\in C\left( A\right) \right]$	$\displaystyle \Longleftrightarrow\left[ \sigma_{2}\left( x\right) =x\right] \Longleftrightarrow\left[ b_{1} =b_{3}=c_{1}=c_{3}=0\right]$
	$\displaystyle \Longleftrightarrow\left[ x\in\mathbb{Q}\left( i,\left( \sqrt[4] {2}\right) ^{2}\right) \right]$

et $C\left( A\right) =\mathbb{Q}\left( i,\left( \sqrt[4]{2}\right) ^{2}\right) =\mathbb{Q}\left( i,\sqrt{2}\right)$ . D'une manière analogue, on détermine les autres corps intermédiaires Les résultats sont résumés dans le tableau suivant :

$\displaystyle \begin{tabular}[c]{\vert c\vert c\vert}\hline Sous-groupe & Corp... ... \hline $I$ & $\mathbb{Q}\left( \sqrt{2}\right) $ \hline \end{tabular}$

Sous-groupes distingués de $G\left( R/\mathbb{Q}\right)$ : Les sous-groupes d'ordre 4 sont distingués. est la seule sous-groupe distingué d'ordre 2.

Extensions normale de $\mathbb{Q}$ : Les corps intermédiaires qui sont des extensions normales de $\mathbb{Q}$ sont ceux associés aux sous-groupes distingués de $G\left( R/\mathbb{Q}\right)$ . Ces corps sont : $\mathbb{Q}\left( i\right)$ , $\mathbb{Q}\left( \sqrt{2}\right)$ , $\mathbb{Q}\left( i\sqrt{2}\right)$ and $\mathbb{Q}\left( i,\sqrt {2}\right)$ .