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Quelques théorèmes

Soit $f:G\longrightarrow G^{\prime}$ un homomorphisme de groupes surjectif. Nous allons désigner par $S\left( G^{\prime}\right)$ l'ensemble des sous-groupes de $G^{\prime}$ et par $S_{f}\left( G\right)$ celui des sous-groupes de contenant $Ker\left( f\right)$ .

Théorème Il existe une bijection de $S\left( G^{\prime}\right)$ sur $S_{f}\left( G\right)$ .

Démonstration Soit $\varphi$ l'application de $S\left( G^{\prime}\right)$ dans $S_{f}\left( G\right)$ qui associe à $H^{\prime}$ le sous-groupe $f^{-1}\left( H^{\prime}\right)$ de . $\varphi$ est injective, car nous avons

$\displaystyle \left[ \varphi\left( H^{\prime}\right) =\varphi\left( K^{\prime}\right) \right]$	$\displaystyle \Longrightarrow\left[ f^{-1}\left( H^{\prime}\right) =f^{-1}\left( K^{\prime}\right) \right]$
	$\displaystyle \Longrightarrow\left[ f\left( f^{-1}\left( H^{\prime}\right) \right) =f\left( f^{-1}\left( K^{\prime}\right) \right) \right]$
	$\displaystyle \Longrightarrow\left[ H^{\prime}=K^{\prime}\right]$

vu que est surjective. D'un autre côté, si $H\in S_{f}\left( G\right)$ , alors

$\displaystyle H^{\prime}=f\left( H\right) \in S\left( G^{\prime}\right)$ et $\displaystyle \varphi\left( H^{\prime}\right) =f^{-1}\left( H^{\prime}\right) =H$

car nous avons

$\displaystyle \left[ x\in f^{-1}\left( f\left( H\right) \right) \right]$	$\displaystyle \Longrightarrow\left[ f\left( x\right) \in f\left( H\right) \right]$
	$\displaystyle \Longrightarrow\left( \exists y\in H\right) \left[ f\left( x\right) =f\left( y\right) \right]$
	$\displaystyle \Longrightarrow\left[ x-y\in Ker\left( f\right) \subseteq H\right]$
	$\displaystyle \Longrightarrow\left[ x\in H\right]$

D'où $f^{-1}\left( f\left( H\right) \right) \subseteq H$ . L'autre inclusion est évidente. Ainsi $\varphi$ est surjective.

Théorème La bijection $\varphi$ est croissante.

Démonstration Si $H^{\prime}\subseteq K^{\prime}$ , alors

$\displaystyle \left[ x\in\varphi\left( H^{\prime}\right) \right]$	$\displaystyle \Longrightarrow \left[ x\in f^{-1}\left( H^{\prime}\right) \right]$
	$\displaystyle \Longrightarrow\left[ f\left( x\right) \in H^{\prime}\right]$
	$\displaystyle \Longrightarrow\left[ f\left( x\right) \in K^{\prime}\right]$
	$\displaystyle \Longrightarrow\left[ x\in f^{-1}\left( K^{\prime}\right) =\varphi \left( K^{\prime}\right) \right]$

D'où $\varphi\left( H^{\prime}\right) \subseteq\varphi\left( K^{\prime }\right)$ .

Théorème $H^{\prime}$ est un sous-groupe distingué de $G^{\prime}$ si, et seulement si, le sous-groupe $H=\varphi\left( H^{\prime}\right)$ de est distingué.

Démonstration Si $H^{\prime}$ est un sous-groupe distingué de $G^{\prime}$ , alors nous avons

$\displaystyle \left[ x\in G\text{, }y\in H\right]$	$\displaystyle \Longrightarrow\left[ f\left( x\right) \in G^{\prime}\text{, }f\left( y\right) \in H^{\prime}\right]$
	$\displaystyle \Longrightarrow\left[ f\left( x^{-1}yx\right) =f\left( x\right) ^{-1}f\left( y\right) f\left( x\right) \in H^{\prime}\right]$
	$\displaystyle \Longrightarrow\left[ x^{-1}yx\in f^{-1}\left( H^{\prime}\right) =H\right]$

Réciproquement, si le sous-groupe

est distingué, alors $H^{\prime}$ est un sous-groupe distingué de $G^{\prime}$ . En effet, si $x^{\prime}\in G^{\prime}$ et $y^{\prime}\in H^{\prime}$ , alors il existe $x\in G$ et $y\in H$ tels que $x^{\prime}=f\left( x\right)$ et $y^{\prime }=f\left( y\right)$ ( $H^{\prime}=f\left( f^{-1}\left( H^{\prime}\right) \right) =f\left( H\right)$ car

est surjective). Nous avons

$\displaystyle \left( x^{\prime}\right) ^{-1}y^{\prime}x^{\prime}=f\left( x\righ... ...f\left( x\right) =f\left( x^{-1}yx\right) \in f\left( H\right) =H^{\prime}%%$

car $x^{-1}yx\in H$ .

Théorème Si $H^{\prime}$ est distingué dans $G^{\prime}$ et $H=\varphi\left( H^{\prime}\right)$ , alors $G^{\prime}/H^{\prime}$ est isomorphe à .

Démonstration L'application

$\displaystyle g;G\overset{f}{\longrightarrow}G^{\prime}\overset{p^{\prime}}{\longrightarrow }G^{\prime}/H^{\prime}%%$

où $p^{\prime}$ est la surjection canonique qui est un homomorphisme de groupes

. Il est surjectif et son noyau est

car

$\displaystyle \left[ x\in Ker\left( g\right) \right] \Longleftrightarrow\left[ ... ...left( x\right) \in H^{\prime}\right] \Longleftrightarrow\left[ x\in H\right]$