A lire

Deug/Prépa

Licence

Agrégation
A télécharger

Télécharger

personnes(s) sur le site en ce moment.

A. Grothendieck

A lire

Articles

Math/Infos

Récréation
A télécharger

Télécharger

Théorème de Cantor-Bernstein

Théo. Sylow

Théo. Ascoli

Théo. Baire

Loi forte grd nbre

Nains magiques

suivant: Groupes résolubles monter: Compléments sur les groupes précédent: Quelques théorèmes

Chaînes normales

Soient $G_{1}$ et $G_{2}$ deux sous-groupes de tels que $G_{1}\subseteq G_{2}$ .

Définition On appelle chaîne normale de entre $G_{2}$ et $G_{1}$ toute chaîne de sous-groupes de

$\displaystyle G_{1}=H_{0}\subseteq H_{1}\subseteq\cdot\cdot\cdot\subseteq H_{n}=G_{2}%%$

telle que chaque $H_{i}$ soit un sous-groupe distingué

de son successeur $H_{i+1}$ . Les groupes quotients

$F_{i}=H_{i+1}/H_{i}$ pour

sont appelés les facteurs de la chaîne.

Définition On appelle chaîne normale du groupe toute chaîne normale de entre $\left\{ e\right\}$ et .

Exemple Soit $S_{3}$ le groupe des permutations de l'ensemble $\left\{ 1,2,3\right\}$ et $A_{3}$ le groupe alterné d'ordre 3. La chaîne

$\displaystyle \left\{ i\right\} \subseteq A_{3}\subseteq S_{3}%%$

est une chaîne normale du groupe $S_{3}$ .

Théorème Si $f;G\longrightarrow G^{\prime}$ est un homomorphisme surjectif, alors transforme toute chaîne normale

$\displaystyle \left\{ e\right\} =H_{0}\subseteq H_{1}\subseteq\cdot\cdot\cdot\subseteq H_{n}=G$

en une chaîne normale

$\displaystyle \left\{ e^{\prime}\right\} =H_{0}^{\prime}\subseteq H_{1}^{\prime}%% \subseteq\cdot\cdot\cdot\subseteq H_{n}^{\prime}=G^{\prime}%%$

de $G^{\prime}$ et il existe un homomorphisme surjectif $u_{i}$ du facteur $F_{i}=H_{i+1}/H_{i}$ sur le facteur $F_{i}^{\prime}=H_{i+1}^{\prime}%% /H_{i}^{\prime}$ pour

Démonstration L'homomorphisme transforme la chaîne

$\displaystyle \left\{ e\right\} =H_{0}\subseteq H_{1}\subseteq\cdot\cdot\cdot\subseteq H_{n}=G$

en la chaîne

$\displaystyle \left\{ e^{\prime}\right\} =H_{0}^{\prime}\subseteq H_{1}^{\prime}%% \subseteq\cdot\cdot\cdot\subseteq H_{n}^{\prime}=G^{\prime}%%$

où $H_{i}^{\prime}=f\left( H_{i}\right)$ pour

. Cette chaîne est normale, car l'image d'un sous-groupe distingué par un homomorphisme surjectif est un sous-groupe distingué

. D'un autre côté, L'application $u_{i}$ définie par

$\displaystyle u_{i}\left( p_{i}\left( x\right) \right) =p_{i}^{\prime}\left( f\left( x\right) \right)$

est bien définie, car nous avons

$\displaystyle \left[ p_{i}\left( x\right) =p_{i}\left( y\right) \right]$	$\displaystyle \Longrightarrow\left[ xy^{-1}\in H_{i}\right]$
	$\displaystyle \Longrightarrow\left[ f\left( x\right) f\left( y\right) ^{-1}=f\left( xy^{-1}\right) \in f\left( H_{i}\right) =H_{i}^{\prime}\right]$
	$\displaystyle \Longrightarrow\left[ p_{i}^{\prime}\left( f\left( x\right) \right) =p_{i}^{\prime}\left( f\left( y\right) \right) \right]$

où $p_{i}$ et $p_{i}^{\prime}$ sont les surjections canoniques

. Il est facile de vérifier que $u_{i}$ est un homomorphisme de groupes surjectif.

Théorème Si $f;G\longrightarrow G^{\prime}$ est un homomorphisme injectif, alors toute chaîne normale

$\displaystyle \left\{ e^{\prime}\right\} =H_{0}^{\prime}\subseteq H_{1}^{\prime}%% \subseteq\cdot\cdot\cdot\subseteq H_{n}^{\prime}=G^{\prime}%%$

de $G^{\prime}$ est transformée par $f^{-1}$ en une chaîne normale

$\displaystyle \left\{ e\right\} =H_{0}\subseteq H_{1}\subseteq\cdot\cdot\cdot\subseteq H_{n}=f^{-1}\left( G\right) =G$

de $f^{-1}\left( G\right)$ et il existe un homomorphisme injectif $v_{i}$ du facteur $F_{i}=H_{i+1}/H_{i}$ dans le facteur $F_{i}^{\prime}%% =H_{i+1}^{\prime}/H_{i}^{\prime}$ pour

Démonstration Soit $H_{i}=f^{-1}\left( H_{i}^{\prime}\right)$ pour . Les sous-groupes $H_{i}$ de forment une chaîne

$\displaystyle \left\{ e\right\} =H_{0}\subseteq H_{1}\subseteq\cdot\cdot\cdot\subseteq H_{n}=f^{-1}\left( G\right) =G$

où $H_{0}=f^{-1}\left( H_{0}^{\prime}\right) =f^{-1}\left( e^{\prime }\right) =Ker\left( f\right) =\left\{ e\right\}$ . Cette chaîne est normale car nous avons

$\displaystyle \left[ x\in H_{i+1}\text{, }y\in H_{i}\right]$	$\displaystyle \Longrightarrow\left[ f\left( x\right) \in H_{i+1}^{\prime}\text{, }f\left( y\right) \in H_{i}^{\prime}\right]$
	$\displaystyle \Longrightarrow\left[ f\left( x^{-1}yx\right) =f\left( x\right) ^{-1}f\left( y\right) f\left( x\right) \in H_{i}^{\prime}\right]$
	$\displaystyle \Longrightarrow\left[ x^{-1}yx\in H_{i}\right]$

L'application $v_{i}$ est définie comme l'application $u_{i}$ du théorème précédent

. C'est un homomorphisme de groupes. Il est injectif car nous avons

$\displaystyle \left[ v_{i}\left( p_{i}\left( x\right) \right) =\overline{e^{\prime} }\right]$	$\displaystyle \Longrightarrow\left[ p_{i}^{\prime}\left( f\left( x\right) \right) =\overline{e^{\prime}}\right]$
	$\displaystyle \Longrightarrow\left[ f\left( x\right) \in H_{i}^{\prime}\right]$
	$\displaystyle \Longrightarrow\left[ x\in f^{-1}\left( H_{i}^{\prime}\right) =H_{i}\right]$
	$\displaystyle \Longrightarrow\left[ p_{i}\left( x\right) =\overline{e}\right]$

Théorème Si chaque facteur d'une chaîne normale de possède une chaîne normale, alors nous obtenons une chaîne normale de en concaténant les différentes chaînes des facteurs. Les facteurs de la nouvelle chaîne sont isomorphes aux facteurs des chaînes des différents facteurs.

Démonstration Soit

$\displaystyle \left\{ e\right\} =H_{0}\subseteq H_{1}\subseteq\cdot\cdot\cdot\subseteq H_{n}=G$

une chaîne normale de

et soit

$\displaystyle \left\{ \overline{e}\right\} =K_{i,0}\subseteq K_{i,1}\subseteq\cdot \cdot\cdot\subseteq K_{i,n_{i}}=F_{i}%%$

une chaîne normale du facteur $F_{i}$ pour

. La surjection canonique

$p_{i};H_{i+1}\longrightarrow F_{i}$ transforme cette chaîne en une chaîne normale de

entre $H_{i}$ et $H_{i+1}$

$\displaystyle H_{i}=L_{i,0}\subseteq L_{i,1}\subseteq\cdot\cdot\cdot\subseteq L_{i,n_{i}%% }=H_{i+1}%%$

où $L_{ij}=p_{i}^{-1}\left( K_{ij}\right)$ $L_{i,j}/H_{i}\approx K_{i,j}$ . Il en résulte que la chaîne

$\displaystyle \left\{ e\right\}$	$\displaystyle =H_{0}=L_{0,0}\subseteq L_{0,1}\subseteq\cdot \cdot\cdot\subseteq L_{0,n_{0}}=H_{1}\subseteq\cdot\cdot\cdot\subseteq H_{n-1}$
	$\displaystyle =L_{n-1,0}\subseteq L_{n-1,1}\subseteq\cdot\cdot\cdot\subseteq L_{n-1,n_{i}}=H_{n}=G$

est une chaîne normale de

. Il nous reste à prouver que le facteur $L_{i,j+1}/L_{i,j}$ est isomorphe au facteur $K_{i,j+1}/K_{i,j}$ et ceci pour $j=0,1,...,n_{i}-1$ et pour

. La restriction de $p_{i}$ à $L_{i,j+1}$ est un homomorphisme surjectif de $L_{i,j+1}$ sur $K_{i,j+1}$ . Le dernier théorème de la section précédente