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Théorème de Cantor-Bernstein

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Groupe dérivé

Définition Soit un groupe distinct de $\left\{ e\right\}$ . Pour tout $\left( a,b\right) \in G\times G$ , l'élément $a^{-1}b^{-1}ab$ sera noté $\left[ a,b\right]$ et appelé le commutateur de et .

Théorème Les propriétés suivantes sont vraies :

$\left[ G\text{ est abélien} \right] \Longleftrightarrow\left[ \left[ a,b\right] =e\text{ pour tout }\left( a,b\right) \in G\times G\right]$ .
L'inverse d'un commutateur est un commutateur.
Si est un commutateur, alors $x^{-1}cx$ est un commutateur pour tout $x\in G$ .

Démonstration Ces propriétés sont faciles à vérifier.

Définition Le sous-groupe de engendré par tous les commutateurs $\left[ a,b\right]$ , $\left( a,b\right) \in G\times G$ , sera appelé groupe dérivé du groupe . Il sera noté $G^{\prime}$ .

Théorème Le groupe dérivé $G^{\prime}$ de est l'ensemble des produits finis de commutateurs.

Démonstration Soit l'ensemble des produits finis de commutateurs. est un sous-groupe de et il contient tous les commutateurs. Il est le plus petit sous-groupe de qui contient tous les commutateurs car si un sous-groupe de contient tous les commutateurs, alors contient tous les produits finie de commutateurs. Ainsi $H\subseteq K$ et $H=G^{\prime}$ .

Théorème Le groupe dérivé $G^{\prime}$ de est un sous-groupe distingué de .

Démonstration Car, si $y\in G^{\prime}$ , alors est un produit fini de commutateurs, soit $y=c_{1}\cdot\cdot\cdot c_{t}$ . Il en résulte

$\displaystyle x^{-1}yx=x^{-1}c_{1}\cdot\cdot\cdot c_{t}x=\left( x^{-1}c_{1}x\ri... ...{-1}c_{2}x\right) \cdot\cdot\cdot\left( x^{-1}c_{t}x\right) \in G^{\prime}%%$

car le conjugué d'un commutateur est un commutateur.

Théorème Si est un sous-groupe distingué de , alors est abélien si, et seulement si, $G^{\prime}\subseteq H$ .

Démonstration Si $c=a^{-1}b^{-1}ab$ est un commutateur, alors

$\displaystyle \overline{c}=\overline{a^{-1}}\overline{b^{-1}}\overline{a}\overl... ... {b}=\overline{a}^{-1}\overline{b}^{-1}\overline{a}\overline{b}=\overline{e}.$

Il en résulte $c\in H$ qui prouve $G^{\prime}\subseteq H$ . Réciproquement, si $G^{\prime}\subseteq H$ , alors nous avons pour tout $\left( \overline{a},\overline{b}\right) \in G/H\times G/H$

$\displaystyle \overline{a}^{-1}\overline{b}^{-1}\overline{a}\overline{b}=\overl... ...{b^{-1}}\overline{a}\overline{b}=\overline{a^{-1}b^{-1}ab}%% =\overline{e}%%$

et par suite

est abélien.

Corollaire Soit le groupe dérivé du goupe . $G/G^{\prime}$ est abélien.

Définition On définit, par récurrence, le groupe dérivé d'ordre comme étant le groupe dérivé du groupe $G^{\left( i-1\right) }$ : $G^{\left( i\right) }=\left( G^{\left( i-1\right) }\right) ^{\prime}$ . On définit $G^{\left( 0\right) }$ comme étant le groupe .

Nous avons :

Théorème Si est un groupe résoluble, et si

$\displaystyle G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq\cdot\cdot\cdot\supseteq G_{n}=\left\{ e\right\}$

est une chaîne normale

à facteurs abéliens, alors $G^{\left( i\right) }\subseteq G_{i}$

pour

Démonstration Par récurrence . Si , nous avons $G_{0}=G=G^{\left( 0\right) }$ . Supposons avoir $G^{\left( i\right) }\subseteq G_{i}$ . Nous avons $G^{\left( i+1\right) }=\left( G^{\left( i\right) }\right) ^{\prime }\subseteq G_{i}^{^{\prime}}$ . Comme $G_{i}/G_{i+1}$ est abélien, on a $G_{i}^{^{\prime}}\subseteq G_{i+1}$ et par suite

$\displaystyle G^{\left( i+1\right) }=\left( G^{\left( i\right) }\right) ^{\prime }\subseteq G_{i}^{^{\prime}}\subseteq G_{i+1}.$

Théorème est résoluble si, et seulement si, $G^{\left( n\right) }=\left\{ e\right\}$ pour certains .

Démonstration Si est résoluble et si

$\displaystyle G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq\cdot\cdot\cdot\supseteq G_{n}=\left\{ e\right\}$

est une chaîne normale

à facteurs abéliens, alors $G^{\left( n\right) }\subseteq G_{n}=\left\{ e\right\}$ , d'où $G^{\left( n\right) }=\left\{ e\right\}$ . Réciproquement, si $G^{\left( n\right) }=\left\{ e\right\}$ pour un entier naturel

, alors la chaîne

$\displaystyle G=G^{\left( 0\right) }\supseteq G^{\prime}=G^{\left( 1\right) }%% \supseteq\cdot\cdot\cdot\supseteq G^{\left( n\right) }=\left\{ e\right\}$

est une chaîne normale à facteurs abéliens car $G^{\left( i\right) }/G^{\left( i+1\right) }$ est abélien car $G^{\left( i+1\right) }=\left( G^{\left( i\right) }\right) ^{\prime}$ . Ainsi

est résoluble.

Théorème Le groupe alterné $A_{n}$ n'est pas résoluble pour $n\geq5$ .

Démonstration Nous allons démontrer que $A_{n}^{^{\prime}}$ contient tous les cycles de longueur 3. Si $\left( abc\right)$ est un tel cycle, alors

$\displaystyle \left( abc\right) =\left( adc\right) \left( bec\right) \left( ac... ... bce\right) ^{-1}\left( acd\right) \left( bce\right) \in A_{n}^{^{\prime}}%%$

où

des éléments distincts et distinct de

( $n\geq5$ ). Il en résulte que $A_{n}$ , engendré par les cycles de longueur 3, est égal à son groupe dérivé

$A_{n}^{^{\prime}}$ . Ceci prouve que $A_{n}$ n'est pas résoluble pour $n\geq5$ , car son groupe dérivé de n'importe quel ordre est distinct de $\left\{ i\right\}$ .

Corollaire Le groupe symétrique $S_{n}$ n'est pas résoluble pour $n\geq5$ .

Démonstration Sinon, $A_{n}$ serait résoluble.

Théorème Le groupe symétrique $S_{n}$ est résoluble pour $n\in\left\{ 1,2,3,4\right\}$ .

Démonstration Ceci est claire pour . Pour , nous avons la chaîne

$\displaystyle \left\{ i\right\} \subseteq W\subseteq V\subseteq A_{4}\subseteq S_{4}%%$

où

est le groupe

$\displaystyle V=\left\{ i,\left( 12\right) \left( 34\right) ,\left( 13\right) \left( 24\right) ,\left( 14\right) \left( 23\right) \right\}$

est un sous-groupe d'ordre 2 de

. Cette chaîne est normale

. La seule vérification à faire est que

est un sous-groupe distingué de $A_{4}$ . Mais

est distingué dans $S_{4}$ . Ainsi la chaîne est normale. Les facteurs sont tous d'ordre 2 ou 3, ils sont abéliens. Il en résulte que $S_{4}$ est résoluble.

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