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Groupe de Galois d'un polynôme

Dans ce chapitre, tous corps considérés sont de caractéristique nulle. Soient une corps et un polynôme dans .

Définition On appelle groupe de Galois du polynôme sur le corps le groupe de Galois où est un corps des racines pour sur . Il sera noté $G_{K}\left( f\right)$ .

Lemme Soit $f\in K\left[ X\right]$ et une extension de . Le groupe $G_{M}\left( f\right)$ est isomorphe à un sous-groupe de $G_{K}\left( f\right)$ .

Démonstration Soit un corps des racines pour sur . On a
$N=M\left( a_{1},...,a_{n}\right)$ où $a_{1},...,a_{n}$ sont les racines de dans . Le corps $E=K\left( a_{1},...,a_{n}\right)$ est un corps de racines pour sur . Si $\sigma\in G\left( N/M\right)$ , alors sa restriction à est un automorphisme de car est une extension normale de . Soit $\varphi;G\left( N/M\right) \longrightarrow G\left( E/K\right)$ l'application qui associe à chaque $\sigma\in G\left( N/M\right)$ sa restriction à . $\varphi$ est un homomorphisme de groupes. Il est injectif car si $\varphi\left( \sigma\right) =id_{E}$ , alors $\sigma\left( a_{i}\right) =a_{i}$ pour tout . Il en résulte $\sigma=id_{M}$ . Ainsi $G\left( N/M\right)$ est isomorphe à $\operatorname{Im}\left( \varphi\right)$ qui est un sous-groupe de $G\left( E/K\right)$ .

Soit $f\in K\left[ X\right]$ et $L=K\left( a_{1},...,a_{n}\right)$ un corps des racines pour sur , où $a_{1},...,a_{n}$ sont les racines de dans . Tout $\sigma\in G\left( L/K\right)$ permute les racines de . D'un autre côté, deux automorphismes $\sigma$ et $\tau$ de sont égaux si, et seulement si, $\sigma\left( a_{i}\right) =\tau\left( a_{i}\right)$ pour tout . Ainsi le groupe de Galois de peut être regardé comme un sous-groupe de du groupe des permutations de ses racines. Nous avons alors

Lemme Soit $f\in K\left[ X\right]$ . Le groupe de Galois de sur est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique $S_{n}$ où est le nombre des racines distinctes de .