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Polynômes résolubles et leurs groupes de Galois

Définition On dit qu'un polynôme $ f\in K\left[ X\right] $ est résoluble par des radicaux si, et seulement si, les racines de $ f$ dans un corps des racines peuvent être construites à partir des coefficients de $ f$ en un nombre fini d'étapes faisant intervenir les quatre opérations élémentaires $ +$,$ -$,$ \times$,$ \div$ et l'extraction de racines $ n^{i\grave{e}mes}$ pour des entiers naturels appropriés $ n$.

Il découle de cette définition, qu'un polynôme $ f\in K\left[ X\right] $ est résoluble par des radicaux si, et seulement si, il existe des corps $ K_{0},K_{1},...,K_{m}$ tels que $ K_{0}=K$, le polynôme $ f$ est scindé dans $ K_{m}\left[ X\right] $ et pour tout entier $ i$ entre$ 1$et $ m$, le corps $ K_{i}$ est obtenu à partir du corps $ K_{i-1}$, par l'adjonction d'un élément $ \alpha_{i}\in K_{i}$ qui vérifie $ \alpha_{i}^{p_{i}}\in K_{i-1}$ pour un certain entiers positif $ p_{i}$. En plus, nous pouvons supposer les $ p_{i}$ premiers car si $ n=p_{1}%% p_{2}...p_{k-1}p_{k}$, où les $ p_{i}$ sont premiers, et si $ \alpha$ est une racine $ n^{i\grave{e}me}$ de $ a$, on adjoint $ \alpha$ en adjoignant successivement $ \alpha^{p_{1}},\left( \alpha^{p_{1}}\right) ^{p_{2}%% },...,\left( \left( \left( \alpha^{p_{1}}\right) \right) ...\right) ^{p_{k}}=\alpha$.

On se propose de démontrer le résultat fondamental suivant

Théorème $ f\in K[X]$ est résoluble par radicaux si, et seulement si, son groupe de Galois $ G_{K}\left( f\right) $ est résoluble.

$ $

Définition Soit $ L$ un corps et $ p$ un nombre premier. Supposons le polynôme $ X^{p}-1$ scindé dans $ L\left[ X\right] $. Ce polynôme ne possède que des racines simples car aucune de ses racines n'est une racine commune avec le polynôme dérivé $ pX^{p-1}$. Un élément $ \omega\in L$ est une racine p $ ^{\mathbf{i\grave{e}me}}%% $ primitive de l'unité si, et seulement si, $ \omega\neq1$ et est une racine du polynôme $ X^{p}-1$. Les racines $ p^{i\grave{e}mes}$ primitives de l'unité sont donc les racines du polynôme

$\displaystyle X^{p-1}+X^{p-1}+\cdot\cdot\cdot+X+1 .$


Théorème L'ensemble des racines $ p^{i\grave{e}mes}$ primitives de l'unité dans $ L$ forme un groupe cyclique engendré par n'importe laquelle de ces racines.

Lemme Soit $ K$ un corps et $ p$ un nombre premier. Si $ \omega$ est une racine $ p^{i\grave{e}me}$ primitive de l'unité dans une extension de $ K$, alors le groupe de Galois de l'extension $ K\left( \omega\right) $ de $ K$ est abélien.

Démonstration Soit $ L=K\left( \omega\right) $ et soient $ \sigma,\tau\in G\left( L/K\right) $. $ \sigma\left( \omega\right) $ et $ \tau\left( \omega\right) $ sont des racines du polynôme $ X^{p}-1$. Il existe deux entiers $ a$ et $ b$ tels que $ \sigma\left( \omega\right) =\omega^{a}$ et $ \tau\left( \omega\right) =\omega^{b}$. Il en résulte

$\displaystyle \left( \sigma\circ\tau\right) \left( \omega\right)$ $\displaystyle =\sigma\left( \tau\left( \omega\right) \right) =\sigma\left( \ome... ...igma\left( \omega\right) \right) ^{b}=\left( \omega^{a}\right) ^{b}=\omega^{ab}$    
  $\displaystyle =\left( \omega^{b}\right) ^{a}=\left( \tau\left( \omega\right) \r... ...t( \sigma\left( a\right) \right) =\left( \tau\circ\sigma\right) \left( a\right)$    

ce qui prouve $ \sigma\circ\tau=\tau\circ\sigma$ car $ L=K\left( \omega\right) $.

Lemme Soit $ K$ un corps et $ M$ un corps des racines sur $ K$ pour le polynôme $ X^{p}-c\in K\left[ X\right] $ où $ p$ est un nombre premier. Le groupe de Galois de l'extension $ M$ de $ K$ est résoluble.

Démonstration Le résultat est trivial si $ c$ est nul. Supposons $ c$ non nul. Les racines du polynôme $ X^{p}-c$ sont toutes non nulles et distinctes car la seule racine de son polynôme dérivé est nulle. Si $ \alpha$ est une racine de ce polynôme et si $ \omega$ est une racine $ p^{i\grave{e}me}$ primitive de l'unité, alors les racines de $ X^{p}-c$ sont $ \alpha ,\omega\alpha,\omega^{2}\alpha,...,\omega^{p-1}\alpha$. On a alors $ M=K\left( \alpha,\omega\right) $. Le corps $ K\left( \omega\right) $ est un corps intermédiaire et est une extension normale de $ K$ car c'est un corps de racines pour $ X^{p}-1$ sur $ K$. Il en résulte que le groupe $ G\left( M/K\left( \omega\right) \right) $ est un sous-groupe distingué du groupe $ G\left( M/K\right) $ et que le groupe quotient $ G\left( M/K\right) /G\left( M/K\left( \omega\right) \right) $ est isomorphe à $ G\left( K\left( \omega\right) /K\right) $. Or ce dernier est un groupe abelien, il suffit alors de prouver que le groupe $ G\left( M/K\left( \omega\right) \right) $ est abelien car, dans ce cas, la chaîne

$\displaystyle \left\{ i\right\} \subseteq G\left( M/K\left( \omega\right) \right) \subseteq G\left( M/K\right) $

serait une chaîne normale à facteurs abélien de $ G\left( M/K\right) $.

$ M$ est obtenu à partir de $ K\left( \omega\right) $ par l'adjonction d'un élément $ \alpha$ vérifiant $ \alpha^{p}=c\in K$. Ainsi, tout $ \sigma\in G\left( M/K\left( \omega\right) \right) $ est parfaitement déterminé par son action sur $ \alpha$. En plus $ \sigma\left( \alpha\right) $ est une racine de $ X^{p}-c$. Il en résulte qu'il existe un entier $ a$ tel $ \sigma\left( \alpha\right) =\alpha\omega^{a}$. De même, si $ \tau\in G\left( M/K\left( \omega\right) \right) $, il existe un entier $ b$ tel que $ \tau\left( \alpha\right) =\alpha\omega^{b}$. On a alors

$\displaystyle \left( \sigma\circ\tau\right) \left( \alpha\right)$ $\displaystyle =\sigma\left( \tau\left( \alpha\right) \right) =\sigma\left( \alpha\omega^{b}\right)$    
$\displaystyle =\sigma\left( \alpha\right) \sigma\left( \omega^{b}\right) =\sigm... ...right) \sigma\left( \omega\right) ^{b}=c\omega^{a}\omega^{b} =\alpha\omega^{ab}$    
$\displaystyle \left( \tau\circ\sigma\right) \left( \alpha\right)$ $\displaystyle =\tau\left( \sigma\left( \alpha\right) \right) =\tau\left( \alpha\omega^{a}\right)$    
$\displaystyle =\tau\left( \alpha\right) \tau\left( \omega^{a}\right) =\tau\left... ...a\right) \tau\left( \omega\right) ^{a}=c\omega^{b}\omega^{a} =\alpha\omega^{ab}$    

ce qui prouve $ \sigma\circ\tau=\tau\circ\sigma$ et $ G\left( M/K\left( \omega\right) \right) $ est abelien.

Lemme Soit $ f\in K\left[ X\right] $ et soit $ K^{\prime}=K\left( \alpha\right) $ où $ \alpha^{p}\in K$ pour un nombre premier $ p$. Le groupe $ G_{K}\left( f\right) $ est résoluble si, et seulement si, le groupe $ G_{K^{\prime}}\left( f\right) $ est résoluble.

Démonstration Soit $ N$ un corps des racines pour le polynôme
$ f\left( X\right) \left( X^{p}-c\right) $ sur $ K$, où $ c=\alpha^{p}\in K$. $ N$ contient un corps des racines $ L$ pour $ f$ sur $ K$ et un corps des racines $ M$ pour $ X^{p}-c$ sur $ K$. Les extensions $ N$ de $ K$, $ L$ de $ K$ et $ M$ de $ K$ sont toutes galoisiennes. Les groupes $ G\left( N/M\right) $ et $ G\left( N/L\right) $ sont des sous-groupes distingués de $ G\left( N/K\right) $. En plus le groupe $ G\left( L/K\right) $ est isomorphe au groupe quotient $ G\left( N/K\right) /G\left( N/L\right)$ et le groupe $ G\left( M/K\right) $ est isomorphe au groupe quotient $ G\left( N/K\right) /G\left( N/M\right) $. $ M$ et $ N$ sont des corps des racines pour le polynôme $ X^{p}-c$ sur $ K$ et $ L$ respectivement. Il résulte du lemme précédent que $ G\left( M/K\right) $ et $ G\left( N/L\right) $ sont résolubles. Or nous savons que si $ H$ est un sous-groupe distingué d'un groupe $ G$, alors $ G$ est résoluble si, et seulement si $ H$ et $ G/H$ le sont. Ainsi $ G\left( N/K\right) $ est résoluble si, et seulement si, $ G\left( N/M\right) $ est résoluble. De même, $ G\left( N/K\right) $ est résoluble si, et seulement si, $ G\left( L/K\right) $ est résoluble. Mais $ G\left( N/M\right) \approx G_{M}\left( f\right) $ et $ G\left( L/K\right) \approx G_{K}\left( f\right) $.Il en résulte que $ G_{M}\left( f\right) $ est résoluble si, et seulement si, $ G_{K}\left( f\right) $ est résoluble.

Maintenant $ M$ est aussi un corps des racines pour le polynôme $ X^{p}-c$ sur $ K^{\prime}$, car $ K^{\prime}=K(\alpha)$ où $ \alpha$ est une racine de ce polynôme. Ainsi, le groupe $ G_{M}\left( f\right) $ est résoluble si, et seulement si, le groupe $ G_{K^{\prime}}\left( f\right) $ est résoluble. Il en résulte que le groupe $ G_{K}\left( f\right) $ est résoluble si, et seulement si, le groupe $ G_{K^{\prime}}\left( f\right) $ est résoluble.

Théorème Soit $ f\in K\left[ X\right] $ . Si $ f$ est résoluble par des radicaux, alors son groupe de Galois $ G_{K}\left( f\right) $ est résoluble.

Démonstration Si $ f$ est résoluble par des radicaux, alors il existe une suite $ K_{0},K_{1},...,K_{m}$ de corps tel que $ K_{0}=K$, $ f$ est scindé dans $ K_{m}\left[ X\right] $ et, pour $ i$ entre $ 1$ et $ m$, $ K_{i}=K_{i-1}\left( \alpha_{i}\right) $ avec $ \alpha_{i}^{p_{i}}\in K_{i-1}$ pour un nombre premier $ p_{i}$. Le groupe $ G_{K_{m}}\left( f\right) $ est résoluble car c'est le groupe réduit à l'identité de $ K_{m}$. D'un autre côté, le lemme précédent montre que le groupe $ G_{K_{i} }\left( f\right) $ est résoluble si, et seulement si, le groupe $ G_{K_{i-1}}\left( f\right) $ est résoluble, et ce pour tout $ i>0$. Il en résulte que $ G_{K}\left( f\right) =G_{K_{0}}\left( f\right) $ est résoluble.

Lemme Soit $ p$ un nombre premier, $ K$ un corps et $ L$ une extension galoisienne de degré $ p$ de $ K$. On suppose que $ K$ contient une racine $ p^{i\grave{e}me}$ primitive de l'unité. Alors il existe $ \alpha\in L$ tel que $ L=K\left( \alpha\right) $ et $ \alpha^{p}\in K$.

Démonstration Le groupe $ G\left( L/K\right) $ est un groupe cyclique car son ordre est un nombre premier. Soient $ \sigma$ un générateur de ce groupe et $ \omega$ une racine $ p^{i\grave{e}me}$ primitive de l'unité. Soit $ b\in L-K$ et soit, pour $ i=0,1,...,p-1$,

$\displaystyle \alpha_{j}=b+\omega^{j}\sigma\left( b\right) +\omega^{2j}\sigma^{... ...ht) +\cdot\cdot\cdot+\omega^{\left( p-1\right) j}\sigma^{p-1}\left( b\right) $

Cet élément est parfois appelé la résolvante de Lagrange. Nous avons $ \sigma\left( \alpha_{j}\right) =\omega^{-j}\alpha _{j}$ pour $ j=0,1,...,p-1$, car $ \sigma\left( \omega\right) =\omega$, $ \sigma\left( \sigma^{p-1}\left( b\right) \right) =b$ et $ \omega^{p}=1$ Il en résulte $ \sigma\left( \alpha_{j}^{p}\right) =\alpha_{j}^{p}$ et par suite $ \alpha_{j}^{p}\in K$ pour $ j=0,1,...,p-1$. Mais

$\displaystyle \alpha_{0}+\alpha_{1}+\cdot\cdot\cdot+\alpha_{p-1}=pb $

car $ \omega^{j}$ est une racine du polynôme $ X^{p-1}+X^{p-2}+\cdot \cdot\cdot+X+1$ pour tous les $ j$ non divisibles par $ p$. Or $ pb\in L-K$ car $ b\in L-K$ et $ p\neq0$ dans $ K$. Il en résulte qu'un des éléments $ \alpha_{0},\alpha_{1},...,\alpha_{p-1}$ appartient à $ L-K$. Soit $ \alpha=\alpha_{i}$ un tel élément. $ \left[ K\left( \alpha\right) :K\right] $ divise $ \left[ L:K\right] =p$. On en déduite $ \left[ K\left( \alpha\right) :K\right] =p$ car $ p$ est premier et $ \alpha\notin K$. Ainsi $ L=K\left( \alpha\right) $ avec $ \alpha^{p}\in K$.

Théorème Soit $ f\in K\left[ X\right] $ où $ K$ est un corps de caractéristique nulle. Si le groupe $ G_{K}\left( f\right) $ est résoluble, alors $ f$ est résoluble par des radicaux.

Démonstration Soit $ \omega$ une racine $ p^{i\grave{e}me}$ primitive de l'unité où $ p$ est un nombre premier. Le groupe $ G_{K\left( \omega\right) }\left( f\right) $ est isomorphe à un sous-groupe de $ G_{K}\left( f\right) $ et est par suite résoluble. D'un autre côté, $ f$ est résoluble par des radicaux sur $ K$ si, et seulement si, $ f$ est résoluble par des radicaux sur $ K\left( \omega\right) $ car $ K\left( \omega\right) $ est obtenue à partir de $ K$ par adjonction d'un élément $ \omega$ qui vérifie $ \omega^{p}=1\in K$. Dès lors, on peut supposer que le corps $ K$ contient une racine $ p^{i\grave{e}me}$ primitive de l'unité pour tous les diviseurs premiers de
$ n=Ord\left( G_{K}\left( f\right) \right) $.

Le résultat est trivialement vrai pour $ n=1$ car dans ce cas $ f$ est scindé dans $ K\left[ X\right] $. Supposons la propriété vraie pour les extensions dont l'ordre du groupe de Galois est inférieur à $ n$. Soit $ L$ un corps des racines pour $ f$ sur $ K$. $ L$ est une extension galoisienne de $ K$ et $ G\left( L/K\right) \approx G_{K}\left( f\right) $. Le groupe résoluble $ G\left( L/K\right) $ possède un sous-groupe distingué $ H$ tel que le groupe quotient $ G\left( L/K\right) /H$ soit cyclique d'ordre un nombre premier diviseur de $ n=Ord\left( G_{K}\left( f\right) \right) $. Soit $ M$ le corps des invariants de $ H$. On a $ H=G\left( L/M\right) $ et $ G\left( M/K\right) \approx G\left( L/K\right) /H$. D'où $ \left[ M:K\right] =Ord\left( G\left( L/K\right) /H\right) =p$. Il en résulte que $ M$ est de la forme $ M=K\left( \alpha\right) $ pour un $ \alpha\in M$ qui vérifie $ \alpha^{p}\in K$. Comme $ G_{M}\left( f\right) \approx H$ et $ H$ est résoluble, alors $ G_{M}\left( f\right) =G\left( L/M\right) $ est résoluble. L'hypothèse de récurrence montre que $ f$ est résoluble par des radicaux sur $ M$. Les racines de $ f$ se trouvent donc, dans une extension de $ M$ obtenue par adjonction successive de radicaux. Or $ M$ est obtenue à partir de $ K$ par l'adjonction du radical $ \alpha$, donc les racines de $ f$ se trouvent dans une extension de $ K$ obtenue par adjonction successive de radicaux. $ f$ est alors résoluble par des radicaux.

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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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