A lire

Deug/Prépa

Licence

Agrégation
A télécharger

Télécharger

personnes(s) sur le site en ce moment.

A. Grothendieck

A lire

Articles

Math/Infos

Récréation
A télécharger

Télécharger

Théorème de Cantor-Bernstein

Théo. Sylow

Théo. Ascoli

Théo. Baire

Loi forte grd nbre

Nains magiques

suivant: Discriminant monter: Equation générale de degré précédent: Equation générale de degré

Equation de degrée

Tous les corps considérés dans ce chapitre seront de caractéristique nulle. Soit $b_{1},...,b_{s}$ des éléments d'une extension d'un corps .

Définition On dira que les éléments $b_{1},...,b_{s}$ sont algébriquement indépendants sur si, et seulement si, ces éléments ne satisfont aucune relation de la forme

$\displaystyle \sum\alpha_{i_{1}i_{2}...i_{s}}b_{1}^{i_{1}}...b_{s}^{i_{s}}=0$

à coefficients non nuls.

Autrement dit, $b_{1},...,b_{s}$ sont algébriquement indépendants si, et seulement si, ils n'annulent aucun polynôme non nul $P\left( X_{1},...,X_{s}\right) \in K\left[ X_{1},...,X_{s}\right]$ à indéterminées.

Exemple Si est transcendant sur et est transcendant sur $K\left( a\right)$ , alors sont algébriquement indépendants sur , car si nous avons

$\displaystyle \sum\limits_{i,j}\alpha_{i,j}a^{i}b^{j}=0$

alors

$\displaystyle \sum_{j}\left( \sum\limits_{i}\alpha_{ij}a^{i}\right) b^{j}=0$

Mais

est transcendant sur $K\left( a\right)$ , d'où

$\displaystyle \sum\limits_{i}\alpha_{ij}a^{i}=0$ pour tout $\displaystyle j$

est aussi transcendant sur

. Les relations précédentes impliquent $\alpha_{ij}=0$ pour tout

et tout

ce qui prouve l'indépendance algébrique de

sur

Définition L'équation générale de degré sur un corps est une équation de la forme

$\displaystyle x^{n}+a_{n-1}x^{n}+\cdot\cdot\cdot+a_{1}x+a_{0}=0$

où les coefficients $a_{0},a_{1},...,a_{n-1}$ sont algébriquement indépendants sur

Soit $F=K\left( a_{0},a_{1},...,a_{n-1}\right)$ et $f\left( X\right) =X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdot\cdot\cdot+a_{1}X+a_{0}$ . Nous avons $f\left( X\right) \in F\left[ X\right]$ et $F\simeq K\left( Y_{1},...,Y_{n}\right)$ corps des fractions rationnelles en idéterminées $Y_{1},...,Y_{n}$ et à coefficients dans . Soit $u_{1},u_{2},...,u_{n}$ les racines de dans un corps des racines $F\left( u_{0},u_{1},...,u_{n-1}\right)$ pour sur .

Théorème $u_{1},u_{2},...,u_{n}$ sont algébriquement indépendants sur .

Démonstration Sinon, soit

$\displaystyle \sum\alpha_{i_{1}i_{2}...i_{n}}u_{1}^{i_{1}}...u_{n}^{i_{n}}=0$

une relation de dépendance algébrique sur

. Posons

$\displaystyle P\left( X_{1},...,X_{n}\right) =\sum\alpha_{i_{1}i_{2}...i_{n}}X_{1}^{i_{1}%% }...X_{n}^{i_{n}}%%$

Ce polynôme non nul satisfait $P\left( u_{1},u_{2},...,u_{n}\right) =0$ . Considérons le polynôme

$\displaystyle H\left( X_{1},...,X_{n}\right) =\prod\limits_{\sigma\in S_{n}}P\left( X_{\sigma\left( 1\right) },...,X_{\sigma\left( n\right) }\right)$

Le polynôme

est visiblement symétrique. La théorie des polynômes symétriques nous apprend qu'il existe un polynôme unique $Q\left( X_{1},...,X_{n}\right)$ dans $K\left[ X_{1},...,X_{n}%% \right]$ tel que

$\displaystyle H\left( X_{1},...,X_{n}\right) =Q\left( \Sigma_{1},...,\Sigma_{n}\right)$

où $\Sigma_{1},\Sigma_{2},...,\Sigma_{n}$ sont les polynômes symétriques élémentaires

$\displaystyle \Sigma_{1}$	$\displaystyle =X_{1}+X_{2}+\cdot\cdot\cdot+X_{n}$
$\displaystyle \Sigma_{2}$	$\displaystyle =X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+\cdot\cdot\cdot+X_{n-1}X_{n}$
$\displaystyle \Sigma_{3}$	$\displaystyle =X_{1}X_{2}X_{3}+\cdot\cdot\cdot+X_{n-2}X_{n-1}X_{n}$
	$\displaystyle .$
	$\displaystyle .$
$\displaystyle \Sigma_{n}$	$\displaystyle =X_{1}X_{2}\cdot\cdot\cdot X_{n}<tex2html_comment_mark>6$

La relation $P\left( u_{1},u_{2},...,u_{n}\right) =0$ implique $H\left( u_{1},u_{2},...,u_{n}\right) =0$ et par suite $Q\left( \Sigma_{1}^{\prime },...,\Sigma_{n}^{\prime}\right) =0$ où $\Sigma_{i}^{\prime}=\Sigma _{i}\left( u_{1},u_{2},...,u_{n}\right)$ . Or $\Sigma_{i}^{\prime}=\left( -1\right) ^{i}a_{n-i}$ . Il en résulte

$\displaystyle Q\left( -a_{n-1},a_{n-2},-a_{n-3},...,\left( -1\right) ^{n}a_{0}\right) =0$

Mais, les éléments $a_{0},...,a_{n-1}$ sont algébriquement indépendants sur

. Ceci implique

et par suite

Corollaire Les racines $u_{1},u_{2},...,u_{n}$ sont distinctes.

Démonstration Car si $u_{i}=u_{j}$ , alors $u_{i}-u_{j}=0$ est une relation de dépendence algébrique sur satisfaites par les éléments $u_{1}%% ,u_{2},...,u_{n}$ .

Théorème $K\left( u_{1},u_{2},...,u_{n}\right) =F\left( u_{1},u_{2},...,u_{n}%% \right)$

Démonstration Nous avons

$\displaystyle F\left( u_{1},u_{2},...,u_{n}\right)$	$\displaystyle =K\left( a_{0},...,a_{n-1}\right) \left( u_{1},u_{2},...,u_{n}\right)$
	$\displaystyle =K\left( a_{0},...,a_{n-1},u_{1},u_{2},...,u_{n}\right)$
	$\displaystyle =K\left( u_{1},u_{2},...,u_{n}\right)$

car les coefficients $a_{i}$ peuvent s'exprimer en fonction des racines $u_{1},...,u_{n}$ par l'intermédiaire des polynômes symétriques élémentaires.

Théorème Le groupe de Galois du polynôme est isomorphe au groupe symétrique $S_{n}$ .

Démonstration Il suffit de prouver que est le groupe $S\left( A\right)$ de toute les permutations de l'ensemble $A=\left\{ u_{1},u_{2},...,u_{n}\right\}$ des racines de car ce groupe de permutations est isomorphe au groupe $S_{n}$ . Soit $\sigma\in G$ . $\sigma\in S\left( A\right)$ car elle permute les racines $u_{1},u_{2},...,u_{n}$ de . Réciproquement, soit une permutation de $A=\left\{ u_{1},u_{2},...,u_{n}\right\}$ et soit

$\displaystyle \sigma;K\left[ u_{1},u_{2},...,u_{n}\right] \longrightarrow K\left[ u_{1},u_{2},...,u_{n}\right]$

l'application définie par

$\displaystyle \sigma\left( g\left( u_{1},u_{2},...,u_{n}\right) \right) =g\left( t\left( u_{1}\right) ,...,t\left( u_{n}\right) \right)$

$\sigma$ est bien définie car tout élément de $K\left[ u_{1},u_{2},...,u_{n}\right]$ s'écrit d'une manière unique sous la forme $g\left( u_{1},u_{2},...,u_{n}\right)$ . Il est aisé de prouver que $\sigma$ est un
-automorphisme de l'anneau $K\left[ u_{1},u_{2},...,u_{n}\right]$ . Il peut être prolongé en un -automorphisme $\tau$ du corps $K\left( u_{1},u_{2},...,u_{n}\right)$ , corps des fractions de l'anneau $K\left[ u_{1},u_{2},...,u_{n}\right]$ . Il nous reste à prouver que $\tau$ est un -automorphisme de $K\left( u_{1},u_{2},...,u_{n}\right)$ . Mais $\tau$ laisse fixe tout élément $a_{i}$ car $a_{i}$ est une fonction symétrique des racines $u_{1}%% ,u_{2},...,u_{n}$ . Ainsi, $\tau$ appartient au groupe de Galois de sur .