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Théorème de Cantor-Bernstein

Théo. Sylow

Théo. Ascoli

Théo. Baire

Loi forte grd nbre

Nains magiques

suivant: Equation de degré 2 monter: Equation générale de degré précédent: Equation de degrée

Discriminant

Soit

$\displaystyle x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdot\cdot\cdot+a_{1}x+a_{0}=0$

l'équation générale de degré

sur un corps

Définition Soit $P=K\left( a_{0},a_{1},...,a_{n-1}\right)$ et un corps des racines sur pour le polynôme

$\displaystyle f\left( X\right) =X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdot\cdot\cdot+a_{1}X+a_{0}%%$

Le groupe de Galois de

est isomorphe à $S_{n}$

. Soit $u_{1}%% ,u_{2},...,u_{n}$ les racines de

dans

. On appelle discriminant de

l'élément $D=\Delta^{2}$ où $\Delta$ est l'élément $\prod\limits_{i<j}\left( u_{i}%% -u_{j}\right) \in R$ .

Exemple Le discriminant de l'équation générale de degré 2 sur est

$\displaystyle D=\Delta^{2}=\left( u_{0}-u_{1}\right) ^{2}=a_{1}^{2}-4a_{0}%%$

Théorème $\sigma\left( \Delta\right) =\pm\Delta$ pour tout $\sigma\in G\left( R/P\right)$ .

Démonstration Nous avons

$\displaystyle \sigma\left( \Delta\right) =\sigma\left( \prod\limits_{i<j}\left(... ...left( u_{j}\right) \right) =\varepsilon\left( \sigma\right) \Delta=\pm\Delta$

où $\varepsilon\left( \sigma\right)$ est la signature de la permutation $\sigma$ .

Corollaire $\Delta^{2}\in P$ .

Démonstration Car $\sigma\left( \Delta^{2}\right) =\sigma\left( \Delta\right) ^{2}=\Delta^{2}$ pour tout $\sigma\in G\left( R/P\right)$ .

Théorème Le corps des éléments laissés fixe par le groupe alterné $A_{n}$ est $P\left( \Delta\right)$ .

Démonstration Soit le corps des éléments laissés fixes par $A_{n}$ . Nous avons $A_{n}=G\left( R/L\right)$ . L'extension de est normale, car $A_{n}=G\left( R/L\right)$ est un sous-groupe distingué de $S_{n}=G\left( R/P\right)$ . En plus, le groupe de Galois $G\left( L/P\right)$ est isomorphe au groupe quotient $S_{n}/A_{n}$ qui est un groupe d'ordre . Ainsi $\left[ L:P\right] =2$ . L'élément $\Delta$ est invariant par chaque élément de $A_{n}$ car $\sigma\left( \Delta\right) =\pm\Delta$ . Il en résulte $\Delta\in L$ et $\left[ P\left( \Delta\right) :P\right] =2$ . D'où $L=P\left( \Delta\right)$ .