A lire

Deug/Prépa

Licence

Agrégation
A télécharger

Télécharger

personnes(s) sur le site en ce moment.

A. Grothendieck

A lire

Articles

Math/Infos

Récréation
A télécharger

Télécharger

Théorème de Cantor-Bernstein

Théo. Sylow

Théo. Ascoli

Théo. Baire

Loi forte grd nbre

Nains magiques

suivant: Equation de degré 4 monter: Equation générale de degré précédent: Equation de degré 2

Equation de degré 3

Cette équation es de la forme

$\displaystyle x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0$

En posant $y=x-\dfrac{a_{2}}{3}$ , nous obtenons

$\displaystyle x^{3}+px+q=0$

Le discriminant

de cette équation est

$\displaystyle \Delta=-4p^{3}-27q^{2}$

Son groupe de Galois

, identifié à $S_{3}$

, est résoluble et

$\displaystyle S_{3}\supseteq A_{3}\supseteq\left\{ e\right\}$

est une chaîne normale à facteurs abéliens

de $S_{3}$ . Il correspond à cette chaîne par la correspondance de Galois, la chaîne suivante de corps intermédiaires

$\displaystyle P\subseteq P\left( \Delta\right) \subseteq R$

Le groupe de Galois de l'extension

de $P\left( \Delta\right)$ est $A_{3}$ . Mais $A_{3}$ est un groupe cyclique d'ordre

. Il est engendré par le cycle $\left( 123\right)$ . Il en résulte que le groupe de Galois $G\left( R/P\left( \Delta\right) \right)$ est engendré par le $P\left( \Delta\right)$ -automorphisme $\sigma$ de

qui vérifie

$\displaystyle \sigma\left( u_{1}\right) =u_{2}$ , $\displaystyle \sigma\left( u_{2}\right) =u_{3}$ et $\displaystyle \sigma\left( u_{3}\right) =u_{1}$

Ainsi, $\left[ P\left( \Delta\right) \left( u_{1}\right) :P\left( \Delta\right) \right] =3$ et $R=P\left( \Delta\right) \left( u_{1}\right) =P\left( \Delta,u_{1}\right)$ .

On applique la méthode de la résolvante de Lagrange. Nous avons

$\displaystyle \beta_{1}$	$\displaystyle =u_{1}+z\sigma\left( u_{1}\right) +z^{2}\sigma^{2}\left( u_{1}\right) =u_{1}+zu_{2}+z^{2}u_{3}$
$\displaystyle \beta_{2}$	$\displaystyle =u_{1}+z^{2}u_{2}+zu_{3}$
$\displaystyle \beta_{3}$	$\displaystyle =u_{1}+u_{2}+u_{3}$

Un calcul assez complexe nous donne

$\displaystyle \beta_{1}^{3}$	$\displaystyle =\left( u_{1}+zu_{2}+z^{2}u_{3}\right) ^{3}=-\frac{27} {2}q+\frac{3}{2}\sqrt{-3}\Delta$
$\displaystyle \beta_{2}^{3}$	$\displaystyle =-\frac{27}{2}q-\frac{3}{2}\sqrt{-3}\Delta$
$\displaystyle \beta_{1}\beta_{2}$	$\displaystyle =-3p$

Donc, $u_{1},u_{2},u_{3}$ forment une solution du système linéaire suivant

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}[c]{c} u_{1}+u_{2}+u_{3}=0\\ u_{1}+... ...}\\ u_{1}+z^{2}u_{2}+zu_{3}=\beta_{2} \end{array} \right. \end{displaymath}$

Pour résoudre ce système, nous devons calculer $\beta_{1}$ et $\beta_{2}$ . Parmi les solutions possibles, on choisit celle qui vérifie $\beta_{1}\beta_{2}=-3p$ . La résolution du système linéaire nous donne alors

$\displaystyle u_{0}=\frac{\beta_{1}+\beta_{2}}{3}$ , $\displaystyle u_{1}=\frac{z^{2}\beta_{1} +z\beta_{2}}{3}\text{ et }u_{2}=\frac{z\beta_{1}+z^{2}\beta_{2}}{3}$

Exemple Pour résoudre l'équation de degré 3 suivante

$\displaystyle x^{3}-5x^{2}+19x+25=0$

on pose $y=x-\dfrac{5}{3}$ . Nous obtenons l'équation suivante

$\displaystyle x^{3}+\frac{32}{3}x+\frac{1280}{27}=0$

Le discriminant

de cette équation est

$\displaystyle \Delta^{2}=-4p^{3}-27q^{2}=-4\left( \frac{32}{3}\right) ^{3}-27\left( \frac{1280}{27}\right) ^{2}=-65536$

D'où

$\displaystyle \beta_{1}^{3}=\left( 4\left( \sqrt{3}+1\right) \right) ^{3}$ et $\displaystyle \beta_{2}^{3}=\left( -4\left( \sqrt{3}-1\right) \right) ^{3}$

et $\beta_{1}\beta_{2}=-3p=-32$ . On en déduit

$\displaystyle \beta_{1}=4\left( \sqrt{3}-1\right)$ et $\displaystyle \beta_{2}=-4\left( \sqrt {3}+1\right)$

ce qui donne

$\displaystyle u_{0}$	$\displaystyle =\frac{\beta_{1}+\beta_{2}}{3}=-\frac{8}{3}$
$\displaystyle u_{1}$	$\displaystyle =\frac{z^{2}\beta_{1}+z\beta_{2}}{3}=\frac{4}{3}-i$
$\displaystyle u_{2}$	$\displaystyle =\frac{z\beta_{1}+z^{2}\beta_{2}}{3}=\frac{4}{3}+i$

$\displaystyle x_{0}$	$\displaystyle =u_{0}+\frac{5}{3}=-1$
$\displaystyle x_{1}$	$\displaystyle =u_{1}+\frac{5}{3}=3-4i$
$\displaystyle x_{2}$	$\displaystyle =u_{2}+\frac{5}{3}=3+4i$