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Equation de degré 4

Cette équation est de la forme suivante

$\displaystyle x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0$

En posant $y=x-\dfrac{a_{3}}{4}$ , nous obtenons

$\displaystyle x^{4}+px^{2}+qx+r=0$

Le discriminant de cette équation est

$\displaystyle \Delta=16p^{4}r-4p^{3}q^{3}-128p^{2}r^{2}+144pq^{2}r-27q^{4}+256r^{3}$

Le groupe de Galois de cette équation, identifié à $S_{4}$ , est résoluble et

$\displaystyle S_{4}\supseteq A_{4}\supseteq V\supseteq W\supseteq\left\{ e\right\}$

Où

$\displaystyle V=\left\{ e,u=\left( 12\right) \left( 34\right) ,v=\left( 13\righ... ...\right) ,t=\left( 14\right) \left( 23\right) \right\} ,W=\left\{ e,u\right\}$

est une chaîne normale à facteurs abéliens

de $S_{4}$ . Il lui correspond, par la correspondance de Galois, la chaîne suivante de corps intermédiaires

$\displaystyle P\subseteq P\left( \Delta\right) \subseteq L_{1}\subseteq L_{2}\subseteq R$

Nous avons

$\displaystyle G\left( R/P\left( \Delta\right) \right) \simeq A_{4}$ , $\displaystyle G\left( R/L_{1}\right) \simeq V$ , $\displaystyle G\left( R/L_{2}\right) \simeq W$

$\displaystyle \left[ R:P\right]$	$\displaystyle =24$ , $\displaystyle \left[ R:P\left( \Delta\right) \right] =12$ , $\displaystyle \left[ R:L_{1}\right] =4$ , $\displaystyle \left[ R:L_{2}\right] =2$
$\displaystyle \left[ L_{2}:L_{1}\right]$	$\displaystyle =2,\left[ L_{2}:P\left( \Delta\right) \right] =6,\left[ L_{1}:P\left( \Delta\right) \right] =3$ et $\displaystyle \left[ P\left( \Delta\right) :P\right] =2$

$L_{1}$ est engendré sur $P\left( \Delta\right)$ par un élément invariant par tous les $\sigma\in V$ . Mais cet élément est modifié par au moins un élément de $A_{4}$ . Considérons l'élément $\theta=\left( u_{0}+u_{1}\right) \left( u_{2}+u_{3}\right)$ . Cet élément vérifie

$\displaystyle u\left( \theta\right)$	$\displaystyle =\left( u_{1}+u_{0}\right) \left( u_{3} +u_{2}\right) =\theta$
$\displaystyle v\left( \theta\right)$	$\displaystyle =\left( u_{2}+u_{3}\right) \left( u_{0} +u_{1}\right) =\theta$
$\displaystyle t\left( \theta\right)$	$\displaystyle =\left( u_{3}+u_{2}\right) \left( u_{1} +u_{0}\right) =\theta$

Donc $\theta\in L_{1}$ . d'un autre côté, $\sigma=\left( 123\right) \in A_{4}$ et $\sigma\left( \theta\right) \neq\theta$ ce qui prouve $\theta\notin P\left( \Delta\right)$ . D'où $L_{1}=P\left( \Delta\right) \left( \theta\right) =P\left( \Delta,\theta\right)$ . Le polynôme minimal de $\theta$ sur $P\left( \Delta\right)$ est le polynôme ayant comme racines les $\sigma\left( \theta\right)$ pour tout élément $\sigma$ de $A_{4}=G\left( R/P\left( \Delta\right) \right)$ . Mais

$\begin{displaymath} A_{4}=\left\{ \begin{array}[c]{c} e,\left( 123\right) ,\le... ...ht) ,\left( 12\right) \left( 34\right) \end{array} \right\} \end{displaymath}$

Calculant ces image de $\theta$ , nous obtenons

$\displaystyle \theta_{1}$	$\displaystyle =\theta$
$\displaystyle \theta_{2}$	$\displaystyle =\left( u_{0}+u_{2}\right) \left( u_{1}+u_{3}\right)$
$\displaystyle \theta_{3}$	$\displaystyle =\left( u_{0}+u_{3}\right) \left( u_{1}+u_{2}\right)$

Or ces images sont les racines de l'équation

$\displaystyle \left( x-\theta_{1}\right) \left( x-\theta_{2}\right) \left( x-\theta _{3}\right) =x^{3}-b_{1}x^{2}+b_{2}x-b_{3}=0$

avec

$\displaystyle b_{1}$	$\displaystyle =\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{3}=2p$
$\displaystyle b_{2}$	$\displaystyle =\theta_{1}\theta_{2}+\theta_{1}\theta_{3}+\theta_{2}\theta _{3}=p^{2}-4r$
$\displaystyle b_{3}$	$\displaystyle =\theta_{1}\theta_{2}\theta_{3}=-q^{2}$

Cette équation de degré 3 est appelée la résolvante cubique de l'équation de degré 4. Le polynôme minimal de $\theta$ sur $P\left( \Delta\right)$ est donc le polynôme $\linebreak X^{3}-b_{1}X^{2}+b_{2}X-b_{3}$ . $\theta_{1}$ et $\theta_{2}$ appartiennent à $L_{1}$ car ils sont invariants par tous les éléments de $V=G\left( R/L_{1}\right)$ .

$L_{2}$ est engendré sur $L_{1}$ par un élément de degré . Si $\lambda=u_{1}+u_{2}$ , alors $\lambda$ est invariant par tous les éléments de mais transformé par l'élément de car nous avons

$\displaystyle v\left( \lambda\right) =u_{3}+u_{4}\neq\lambda$ $\displaystyle \left( u_{1} +u_{2}+u_{3}+u_{4}=0\right)$

Donc $\lambda\in L_{1}$ et $\lambda\notin L_{2}$ . Il en résulte $L_{2}=L_{1}\left( \lambda\right)$ et la chaîne des corps intermédiaires devient

$\displaystyle P\subseteq P\left( \Delta\right) \subseteq P\left( \Delta,\theta\right) \subseteq P\left( \Delta,\theta,\lambda\right) \subseteq R$

Pour calculer les racines $u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}$ en fonction de $\theta _{1},\theta_{2},\theta_{3}$ , nous avons

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}[c]{c} \left( u_{1}+u_{2}\right) \lef... ...theta_{1}\\ u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}=0 \end{array} \right. \end{displaymath}$

Ces deux équations nous donnent

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}[c]{c} u_{1}+u_{2}=\sqrt{-\theta_{1}}\\ u_{3}+u_{4}=-\sqrt{-\theta_{1}} \end{array} \right. \end{displaymath}$

De même, nous avons

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}[c]{c} u_{1}+u_{3}=\sqrt{-\theta_{2}}\\ u_{2}+u_{4}=-\sqrt{-\theta_{2}} \end{array} \right. \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}[c]{c} u_{1}+u_{4}=\sqrt{-\theta_{3}}\\ u_{2}+u_{3}=-\sqrt{-\theta_{3}} \end{array} \right. \end{displaymath}$

Le choix de $\sqrt{-\theta_{1}},\sqrt{-\theta_{2}},\sqrt{-\theta_{3}}$ doit satisfaire

$\displaystyle \left( \sqrt{-\theta_{1}}\right) \left( \sqrt{-\theta_{2}}\right)... ... u_{1}+u_{2}\right) \left( u_{1} +u_{3}\right) \left( u_{1}+u_{4}\right) =-q$

Nous obtenons

$\displaystyle u_{1}$	$\displaystyle =\frac{1}{2}\left( \sqrt{-\theta_{1}}+\sqrt{-\theta_{2}} +\sqrt{-\theta_{3}}\right)$
$\displaystyle u_{2}$	$\displaystyle =\frac{1}{2}\left( \sqrt{-\theta_{1}}-\sqrt{-\theta_{2}} -\sqrt{-\theta_{3}}\right)$
$\displaystyle u_{3}$	$\displaystyle =\frac{1}{2}\left( \sqrt{-\theta_{1}}+\sqrt{-\theta_{2}} -\sqrt{-\theta_{3}}\right)$
$\displaystyle u_{4}$	$\displaystyle =\frac{1}{2}\left( \sqrt{-\theta_{1}}-\sqrt{-\theta_{2}} +\sqrt{-\theta_{3}}\right)$

Exemple Soit à résoudre l'équation de degré 4 suivante

$\displaystyle x^{4}-2x^{3}+4x^{2}+2x-5=0$

En posant $y=x-\dfrac{1}{2}$ , nous obtenons

$\displaystyle y^{4}+\frac{5}{2}y^{2}+5y-\frac{51}{16}=0$

La résolvante cubique est

$\displaystyle x^{3}-5x^{2}+19x+25=0$

Les racines de cette équation de degré 3 sont

$\displaystyle \theta_{1}=-1,\theta_{2}=3-4i$ et $\displaystyle \theta_{3}=3+4i.$

Nous avons

$\displaystyle \sqrt{-\theta_{1}}$	$\displaystyle =\pm1$
$\displaystyle \sqrt{-\theta_{2}}$	$\displaystyle =\sqrt{4i-3}=\pm\left( 1+2i\right)$
$\displaystyle \sqrt{-\theta_{3}}$	$\displaystyle =\sqrt{-3-4i}=\pm\left( 1-2i\right)$

La condition

$\displaystyle \left( \sqrt{-\theta_{1}}\right) \left( \sqrt{-\theta_{2}}\right)... ...{1}+u_{2}\right) \left( u_{1} +u_{3}\right) \left( u_{1}+u_{4}\right) =-q=-5$