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suivant: Dimension de (E) et monter: Formes multilinéaires et déterminant précédent: Introduction

Formes multilinéaires

Définition Soit E un k-espace vectoriel. Soit

$\begin{displaymath}f:\underbrace{E\times....\times E}_{p fois}\rightarrow k.\end{displaymath}$

est une forme p-linéaire ou une forme multilinéaire ( ou encore une p-forme linéaire) sur E si pour tout i=1,...,p, pour tout x

,...,x $_{i-1}$ ,x $_{i+1}$ ,...,x $_p\in$ E, l'application x $\rightarrow f(x_1,....,x_{i-1},x,x_{i+1},...x_p)$ est linéaire de E dans k

. On note $\cal L$ $^{p}$ (E) l'ensemble des p-formes linéaires sur E.

Proposition Soit E un k-espace vectoriel. L'ensemble des p-formes linéaires sur E, $\cal L$ $^{p}$ (E) muni de l'addition des fonctions à valeurs dans k et de la multiplication par un scalaire a une structure de k-espace vectoriel.

Démonstration On montre sans peine que c'est un sous espace vectoriel de l'espace des fonctions définies sur E et à valeurs dans k.

Définition Soit E un k-espace vectoriel. Soit f une forme p-linéaire définie sur un k-espace vectoriel E. Si p=2, on dit que f est une forme bilinéaire. Si p=3, on dit que f est une forme trilinéaire.

Définition Soit E un k-espace vectoriel. Une forme p-linéaire est dite alternée si pour tout (x,...,x) $\in$ E $^{p}$ vérifiant $\exists i,j \in \{1,...,p\}, i \neq j$ x=x, alors f(x,...,x)=0. L'ensemble des formes p-linéaires alternées sur E est notée $\cal A$ (E).

Définition Soit E un k-espace vectoriel. Une forme p-linéaire est dite symétrique si pour tout (x,...,x) $\in$ E $^{p}$ , pour tout i,j $\in \{1,...,p\}, i \neq j$ alors f(x,...,x,...,x,...,x) = f(x,...,x,...,x,...,x).

Définition Soit E un k-espace vectoriel. Une forme p-linéaire est dite antisymétrique si pour tout (x,...,x) $\in$ E $^{p}$ , pour tout i,j $\in \{1,...,p\}, i \neq j$ alors f(x,...,x,...,x,...,x) = -f(x,...,x,...,x,...,x).

Proposition Si f est une p-forme linéaire antisymétrique et si k est un corps de caractéristique différente de 2 alors f est alternée.

Démonstration Comme f est antisymétrique, pour tout (x,...,x) $\in$ E $^{p}$ et pour tout i,j $\in \{1,...,p\}, i \neq j$ alors f(x,...,x,...,x,...,x)=-f(x,...,x,...,x,...,x). Supposons que x=x. L'égalité précédente devient: f(x,...,x,...,x,...,x)=-f(x,...,x,...,x,...,x), soit 2. f(x,...,x,...,x,...,x)=0, ce qui donne, k étant de caractéristique différente de 2 : f(x,...,x,...,x,...,x) = 0.

Avant de continuer, effectuons deux petits rappels à propos du groupe des permutations d'un ensemble fini.

Rappel 1:

L'ensemble des bijections $\sigma:\{1,...,p\} \rightarrow \{1,...,p\}$ est noté S. Une telle bijection est appelée une permutation de $\{1,...,p\}$ .
S muni de la loi de composition des applications possède une structure de groupe.
Une permutation préservant tout les éléments de $\{1,...,p\}$ sauf deux qu'elle permute est appelée une transposition. Toute permutation est produit de transposition. Le nombre de transposition intervenant dans cette décomposition est indépendant de la décomposition (en transposition) choisie.

Rappel 2:

Il existe une morphisme de groupe surjectif $\varepsilon:$ S $_p\rightarrow\{-1,1\}$ où $\{-1,1\}$ est muni de sa struture multiplicative. L'image de $\varepsilon$ sur une permutation est appelée la signature de cette permutation.
Si $\sigma$ est élément de S alors $\varepsilon(\sigma)=(-1)^{n}$ où n est le nombre de transposition dans une décomposition de $\sigma$ en produit de transposition.

Proposition Soit f une forme p-linéaire alternée définie sur un k-espace vectoriel E. Soient v,...,v, p vecteurs de E. Soit aussi $\sigma$ un élément de S. Alors

$\begin{displaymath}f(v_{\sigma(1)},...,v_{\sigma(p)})=\varepsilon(\sigma)f(v_1,...,v_p).\end{displaymath}$

Démonstration Comme les permutations sont des produits de transposition, il suffit de montrer cette égalité pour une transposition. Soit i,j $\in \{1,...,p\}, i \neq j$ et soit $\tau$ la transposition de $\{1,...,p\}$ qui échange i et j. On a clairement:

$\begin{displaymath}f(v_{\tau(1)},...,v_{\tau(i),...,}v_{\tau(j)},...,v_{\tau(p)})=\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}f(v_1,...,v_j,...,v_i,...,v_p)=\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}-f(v_1,...,v_i,...,v_j,...,v_p).\end{displaymath}$

Proposition L'ensemble des p formes linéaires alternées sur le k-espace vectoriel E $\cal A$ (E) est un sous espace vectoriel de l'espace vectoriel des p-formes linéaires sur E $\cal L$ (E).

Démonstration Il suffit de vérifier que la p-forme nulle est bien élément de $\cal A$ (E) et que la combinaison linéaire de deux formes linéaires alternées est encore une p-forme linéaire alternée.