Déterminant d'une matrice, d'une application linéaire

Définition Soit M=( $\alpha_{ij}$ ) $_{i,j=1,...,n}$ une matrice carrée à coefficients dans le corps k. On appelle déterminant de la matrice M et on note det(M) le déterminant des n vecteurs dont les coordonnées ( dans la base canonique de k $^{n}$ ) sont données par les colonnes de M:

$\begin{displaymath}det(M)=\displaystyle{\sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma... .... . . \alpha_{\sigma(j) j}. ... . \alpha_{\sigma(n) n}}.\end{displaymath}$

Proposition Soit E un k-espace vectoriel de dimension égale à n. Soient e=(e,...,e) et e'=(e',...,e') deux bases de E. Alors: det(e',...,e').det $_{e'}$ (e,..,e)=1 ( det(e',...,e') est inversible dans k d'inverse det $_{e'}$ (e,..,e).

Démonstration L'application qui au n-uplets (v,...v) de vecteurs de E associe det $_{e'}$ (v,...,v) est n-multilinéaire alternée. Donc det $_{e'}$ (v,...,v)=det $_{e'}$ (e,...,e).det(v,..,v). Mais det $_{e'}$ (e',...,e')=1 donc det $_{e'}$ (e,..,e) est inversible dans k d'inverse celui précisé dans la proposition.

Définition - Proposition Soit une application linéaire définie sur le k-espace vectoriel E de dimension finie. Soit e une base de E. Si M() désigne la matrice de dans la base E, alors on appelle déterminant de le scalaire de k det()=det M().

Démonstration Soit n=dim E. Il s'agit bien évidemment de montrer que si e' est une autre base de E alors detM()=det $_{e'}$ M $_{e'}$ (), ce qui garantira le sens de cette définition. Rappelons que M() est la matrice dont les vecteurs colonnes sont données par les coordonnées des pour i=1,...,n dans la base e. Donc detM()=det(f(e),...,f(e)). De même det $_{e'}$ M $_{e'}$ ()=det $_{e'}$ (f(e'),...,f(e')).
Intéressons nous à l'application qui au n-uplet (v,...,v) de vecteurs de E associe det(f(v),...,f(v)). Cette application est n-linéaire alternée. Donc det(f(v),...,f(v)) = det(f(e),...,f(e)) $\times$ det(v,...,v). En particulier, det(f(e'),...,f(e')) = det(f(e),...,f(e)) $\times$ det(e',...,e'). Soit encore: