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monter: Etude de l'espace vectoriel précédent: Quelques matrices particulières

Opération sur les lignes et les colonnes d'une matrice

Définition Soit M une matrice de $\cal M$ (n,m). Notons L,...L les lignes et C,...C les colonnes de M. Soit $\lambda \in$ k. Soient i, j $\in$ ${\mathbb{N}}$ .On apelle:

opération élémentaire sur les lignes de M, l'action qui consiste à additionner la ligne $\lambda$ L à une ligne L de M.
opération élémentaire sur les colonnes de M, l'action qui consiste à additionner la colonne $\lambda$ C à une colonne C de M.

Voici quelques matrices particulières ( Id désigne la matrice identitée de $\cal M$ (k) :

Définition Soit (E $_{ij}$ ) $_{i,j=1,...,n}$ les matrices de $\cal M$ (k) dont les coefficients sont tous nuls sauf celui à l'intersection de la ième ligne et de la jième colonne. (E $_{ij}$ ) forme une base de $\cal M$ (k). Soient i,j $\in \{1,...,n\}$ . Soit $\lambda \in$ k $^{*}$ .

Supposons que i $\neq$ j. On appelle matrice de transvection, la matrice T $_{ij}$ ( $\lambda$ )=Id+ $\lambda$ E $_{ij}$ .
On appelle matrice de dilatation, la matrice D( $\lambda$ ) qui est diagonale et dont les coefficients diagonaux sont tous égaux à 1 sauf le ième qui vaut $\lambda$ .

Proposition Les matrices de transvection et les matrices de dilatation sont des matrices inversibles d'inverse respectivement une matrice de transvection et une matrice de dilatation.

Démonstration L'inverse de la matrice D( $\lambda$ ) est donnée par la matrice D( $\lambda^{-1}$ ). L'inverse de la matrice T $_{ij}$ ( $\lambda$ )=Id+ $\lambda$ E $_{ij}$ est donnée par la matrice T $_{ij}$ (- $\lambda$ ). (Un simple calcul permet de s'en convaincre.

Proposition Soit M un élément de $\cal M$ (k). Soient i,j $\in \{1,...,n\}$ . Soit $\lambda \in$ k $^{*}$ . Soit aussi T $_{ij}$ une matrice de transvection et D une matrice de dilatation.

La matrice M.T $_{ij}$ ( $\lambda$ ) s'obtient en remplaçant dans M la jième colonne C par C+ $\lambda$ C.
La matrice T $_{ij}$ ( $\lambda$ ).M s'obtient en remplaçant dans M la ième ligne L par L+ $\lambda$ L.
La matrice M.D( $\lambda$ ) s'obtient en remplaçant dans M la ième colonne C par $\lambda$ C.
La matrice M.D( $\lambda$ ) s'obtient en remplaçant dans M la ième ligne L par $\lambda$ L.

Démonstration Il suffit de calculer les différents produits considérés.

Théorème Le groupe linéaire $\cal G$ l(k) est engendré par les matrices de dilatation et les matrices de transvection. ( Toute matrice inversible s'écrit comme un produit de matrice de transvection et de dilatation ).

Démonstration Nous allons montrer par récurrence sur n que toutes matrices de $\cal G$ l(k) s'écrit sous la forme DT...T où D est une matrice de dilatation et où les T sont des matrices de transvection. Si n=1, les matrices de dilatation à elles seules engendrent $\cal G$ l(k). Supposons que les matrices de $\cal G$ l $_{n-1}$ (k) peuvent être misent sous la forme DT...T et montrons que ce résultat est encore vrai au rang n. Soit M une matrice de $\cal G$ l(k). Soit $\cal A$ le sous ensemble de $\cal G$ l(k) composé des matrices de la forme MT...T où les T sont des matrices de transvection. Si cet ensemble possède une matrice de dilatation D alors le résultat est démontré. Car on aura D=MT...T les matrices de transvection étant inversible d'inverse une matrice de transvection, en multipliant à droite par T $^{-1}$ ...T $^{-1}$ , on obtient, M=DT $^{-1}$ ...T $^{-1}$ qui est l'écriture de M voulue.
Montrons donc que $\cal A$ possède une matrice de dilatation. Posons M=( $\alpha_{ij}$ ) $_{i,j=1,...,n}$ . Si la première ligne de M était nulle, alors le noyau de M ( M vue comme un endomorphisme de k $^{n}$ ) serait non réduit à 0 car l'image du vecteur de coordonnées (1,0,...,0) serait 0. M ne serait alors pas de rang n et donc pas inversible. La première ligne de M possède donc au moins un coefficient $\alpha_{1j}\neq$ 0. La matrice M' obtenue en remplaçant à la 1ère colonne C de M par la colonne C- $\frac{1-\alpha_{11}}{\alpha_{1j}}$ C où C représente la jième colonne de M est élément de $\cal A$ car une telle opération sur M revient à multiplier M à gauche par une matrice de transvection. Notons M'=( $\alpha'_{ij}$ ) $_{i,j=1,...,n}$ . On a: $\alpha'_{11}$ =1. Ajoutons, pour tout j=1,...,n, à la jième colonne de M', la colonne: $-\alpha_{1j}$ C' où C' désigne la 1ère colonne de M'. Ces n-1 opérations reviennent à multiplier M à gauche par une transvection. La matrice obtenue au finale est encore un élément de A que nous noterons M''. M'' a tout ses coefficients sur la première ligne nuls sauf le premier qui vaut 1. Intéressons nous maintenant à la sous matrice carrée Q de M''=( $\alpha''_{ij}$ ) $_{i,j=1,...,n}$ de coefficients Q=( $\alpha''_{ij}$ ) $_{i,j=2,...,n}$
Comme M'' est une matrice inversible ses vecteurs colonnes forment un système libre dans k $^{n}$ . Il en est alors de même pour les vecteurs colonnes V i=2,...,n de Q. Ces n-1 vecteurs forment un système libre dans k $^{n-1}$ . Comme ce dernier est de dimension n-1, ces n-1 vecteurs forment une base de k $^{n-1}$ . Le vecteur colonne V de coefficients ( $\alpha''_{21}$ ,...., $\alpha''_{n1}$ ) est alors combinaison linéaire de ces n-1 vecteurs. Il existe donc des scalaires a,...,a tel que V= $\displaystyle{\sum_{i=2}^n a_i V_i}$ . A la première colonne de M'' et pour tout j=2,...,n, ajoutons la jième colonne de M'' multipliée par -a. On obtient alors une nouvelle matrice N qui a pour première colonne le vecteur de coordonnées (1,0,...,0) ( et pour première ligne (1,0,...,0)):

$\begin{displaymath}N=\left( \begin{array}{ccccc} 1&0&\cdots&0\\ 0&&&\\ \vdots&&P&\\ 0&&&\\ \end{array}\right)\end{displaymath}$

Cette nouvelle matrice est elle aussi obtenue à partie de M par multiplication à gauche par des transvections. N est donc encore élément de $\cal A$ .
Posons N=( $\beta_{ij}$ ) $_{i,j=1,...,n}$ . Ces coefficients vérifient $\beta_{1i}$ =0 et $\beta_{i1}$ =0 pour i=2,...,n, $\beta_{11}$ =1. Soit P=( $\beta_{ij}$ ) $_{i,j=2,...,n}$ . Comme N est inversible, il en est de même de P qui est par conséquent élément de $\cal G$ l $_{n-1}$ (k). Appliquons l'hypothèse de récurrence à P, P=D'T'...T' où D est une matrice de dilatation et où les matrices T sont des matrices de transvections éléments de $\cal G$ l $_{n-1}$ (k). Soit D la matrice diagonale dont la diagonale est formée du coefficient 1 puis des coefficients de la diagonale de D'. D est une dilatation de $\cal G$ l $_{n-1}$ (k). Soit, pour tout i=1,...,m, T la matrice diagonale par bloc dont le premier bloc est la matrice 1 $\times$ 1 d'unique coefficient 1 et le second bloc la matrice T':