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Matrices

Les espaces vectoriels considérés dans cette partie sont tous de dimension finie sur un corps k donné.
Rappelons que la connaissance d'une application linéaire $\theta$ sur un espace vectoriel E est déterminée par les valeurs qu'elle prend sur une base de E. Ainsi si (e) $_{i=1,...,m}$ est une base de E, et si pour tout i=1,...,m, $\theta$ (e) est connue, alors si $x=\displaystyle{\sum_{i=1}^m x_i e_i}$ est un vecteur de E, $\theta$ (x) est donné par :

$\begin{displaymath}\theta(x)=\displaystyle{\sum_{i=1}^m x_i \theta(e_i)}.\end{displaymath}$

Nommons F l'espace vectoriel d'arrivée de l'application linéaire $\theta$ . Supposons que F est de dimension n. On peut choisir une base (f

) $_{i=1,...,n}$ de F. Il existe des coefficients $\lambda_{ij}$ pour i=1,...,m et j=1,...,n tels que pour tout i=1,...,m,

$\begin{displaymath}\theta(e_i)=\displaystyle{\sum_{p=1}^n \lambda_{pi} f_p}.\end{displaymath}$

On peut utiliser pour représenter $\theta$ le tableau à n lignes et m colonnes suivant, dont la ième colonne est donnée par les coordonnées du vecteur $\theta$ (e

) dans la base (e

) $_{i=1,...,n}$ .

$\begin{displaymath}A=\left( \begin{array}{ccccc} \lambda_{11}&\lambda_{12}&\cdot... ...bda_{n1}&\lambda_{2n}&\cdots&\lambda_{nm}\\ \end{array}\right)\end{displaymath}$

Définition Soit E un k-espace vectoriel de dimension m et F un k-espace vectoriel de dimension n. Soient e=(e) $_{i=1,...,m}$ une base de E et f=(f) $_{i=1,...,n}$ une base de F. Soit aussi $\theta$ une application linéaire de E dans F. Pour tout i=1,...,m, il existe n scalaires $\lambda_{ij}$ i=1,...,n de k vérifiant $\theta(e_j)=\displaystyle{\sum_{j=1}^n \lambda_{ij} f_j}$ . On apelle matrice de $\theta$ dans les bases e de E et f de F le tableau noté M( $\theta$ ,e,f) à n lignes et m colonnes constitué des scalaires $\lambda_{ij}$ de k:

$\begin{displaymath}M(\theta,e,f)=\left( \begin{array}{ccccc} \lambda_{11}&\lambd... ...bda_{n1}&\lambda_{n2}&\cdots&\lambda_{nm}\\ \end{array}\right)\end{displaymath}$

On dira aussi que M( $\theta$ ,e,f) est la représentation matricielle de $\theta$ dans les bases e et f de E et F. On pourra noter cette matrice sous la forme condensée: M( $\theta$ ,e,f) = ( $\lambda_{ij}$ ) $_{i=1,...,n j=1,...,m}$ .
L'ensemble des matrices à n lignes et m colonnes sur le corps k est noté $\cal M$ (n,m).

Remarquons que dans la définition précédente il est écrit la représentation matricielle de l'application g et non pas une représentation matricielle. La proposition qui suit justifie ce point lexicale:

Proposition Soient E et F deux k-espaces vectoriels. On suppose que E est de dimension m et que F est de dimension n. Soit e une base de E et f une base de F. Soit aussi g une application linéaire de E dans F. g possède une unique représentation matricielle M(g,e,f).

Démonstration C'est une conséquence directe de l'unicité de l'écriture d'un vecteur dans une base de l'espace auquel il appartient.