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Définition - Proposition Produit d'une matrice et d'un vecteur Soient E et F deux k-espaces vectoriels de dimensions respectives m et n. Choisossons e une base de E et e' une base de f. Soit f une application lineaire de E dans F. Soit aussi
 . On peut représenter x par le vecteur colonne
Supposons que la matrice de f dans les bases e et e' de E s'écrive M(f,e,e')=( )
 . Alors le vecteur f(x) dans la base e' a pour coordonnées (y ,....,y ) où
Démonstration Une fois encore, il suffit d'écrire.
Proposition Soit M  (m,n) alors M peut être vu, modulo la définition précédente, comme une application linéaire de k dans k .
Démonstration Soit v et v' deux vecteurs colonnes de k. Alors, un petit calcul donne M( v+'v')=Mv+'Mv', ce qui prouve la linéarité de M.
Cette proposition permet de redémontrer celles sur la structure de ( (n,m),+,.) et de ((n),+,.). On a l'égalité (n,m)= (k,k). Ce dernier, muni de l'addition et de la multiplication par un scalaire habituelles, possède une structure de k-espace vectoriel. D'autre part, on se souvient que ((k),+, ) possède une structure d'anneau unitaire. Comme (n)=(k), il en est de même de (n).
Terminons par une définition qui permet de faire la transition avec le paragraphe suivant.
Définition Soit M une matrice de (m,n). On appelle rang de la matrice M le rang de M comme application linéaire de k dans k.
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Emmanuel_Vieillard-Baron_pour_les-mathematiques
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