Matrices inversibles - Groupe linéaire

Définition On dira qu'une matrice est inversible si elle est inversible comme élément de l'anneau ( $\cal M$ (n),+,.).

Remarquons qu'en raison de l'isomorphisme précédemment établi entre $\cal M$ (n) et $\cal L$ (E) ( si E est de dimension n), on a équivalence entre le fait que f $\in \cal L$ (E) est un isomorphisme et le fait que la matrice représentant f dans une base de E est inversible.

Définition Le sous ensemble de $\cal M$ (n) des matrices qui sont inversibles est appellé groupe linéaire et est noté $\cal G$ l(k).

Remarquons que $\cal G$ l(k) a une structure de groupe car c'est le sous ensemble des éléments inversibles d'un anneau unitaire..

Proposition Soit E un k espace vectoriel de dimension n. Les groupes $\cal G$ l(k) et $\cal G$ l(E) sont isomorphes.

Démonstration C'est une conséquence directe de l'isomorphisme entre les anneaux $\cal M$ (n) et $\cal L$ (E).

Terminons par un critère d'inversibilité des matrices.

Proposition Soit M une matrice de $\cal M$ (n). M est inversible si et seulement si M est de rang n.

Démonstration Supposons que M est une matrice inversible. Alors M est inversible en tant qu'élément de l'anneau ( $\cal M$ (n),+,.). M peut être vu comme une application linéaire définie de k $^{n}$ dans k $^{n}$ . M étant inversible, elle possède une matrice inverse M $^{-1}$ qui peut être vu elle aussi comme une application de k $^{n}$ dans lui même. M est donc un isomorphisme de k $^{n}$ dans lui même ce qui nous assure que M est de rang n. Réciproquement Si M est de rang n, alors M en tant qu'application linéaire de k $^{n}$ dans k $^{n}$ est un endomorphisme de rang n. Les endomorphismes de rang n sont les isomorphismes, c'est à dire les endomorphismes inversibles. On a alors bien démontré notre propriété.