Formes linéaires et hyperplans

Dans tout ce paragraphe, E est un sous espace vectoriel de dimension quelconque.

Proposition Soit E un k-espace vectoriel.

Le noyau d'une forme linéaire non nulle sur E est un hyperplan de E. Deux formes proportionnelles ont un noyau égal au même hyperplan.
Réciproquement si H est un hyperplan de E, il existe une forme linéaire non nulle ayant H comme noyau. De plus, toute forme linéaire non nulle ayant H comme noyau est proportionelle à f.

Démonstration

Si f $\in$ E $^{*}$ , et si x $_0\in$ E $\setminus$ Ker f, pour tout x $\in$ E, on a la décomposition

$\begin{displaymath}x=(x-\frac{f(x)}{f(x_0)}x_0)+\frac{f(x)}{f(x_0)}x_0=x_1+x_2.\end{displaymath}$

Remarquons que =0 et que . Cette décompositon définie deux sous espaces en somme directe dans E: E $_1=\{ x-\frac{f(x)}{f(x_0)}x_0; \forall x\in E\}$ et E le sous espace engendré par x. On montre facilement que E=Ker f. Ker f est donc de codimension 1 et définie un hyperplan de E. Enfin si f' est une seconde forme proportionnelle à f, il est clair que ces deux formes ont même noyau.
Soit H un hyperplan de E. Soit x un vecteur de E $\setminus$ H. E peut être décomposé sous la forme E=H $\oplus$ <x> et pour tout x $\in$ E, il existe x $_H \in$ H et $\lambda(x) \in$ k uniques tels que x=x+ $\lambda(x)$ x. Posons, pour tout x de E, f(x)= $\lambda(x)$ . On vérifie sans problème que f est bien définie et qu'elle est linéaire de E dans k. De plus, son noyau est exactement égal à H. Soit g une autre forme linéaire ayant H comme noyau. Utilisant la décomposition de E=H $\oplus$ <x> précédente, pour tout x de E, x=x+ $\lambda(x)$ x et g(x)= $\lambda(x)$ g(x)=g(x)/f(x).f(x). f et g sont donc bien proportionnelles.