Définition

Dans tout le paragraphe qui vient, X désignera un ensemble et (G,.) un groupe. On notera e le neutre de G.

Définition On dira que le groupe G agit (ou opère) sur l'ensemble X si il existe une application $\theta:G\times X \longrightarrow X$ telle que:

Pour tout x dans X, $\theta$ (e,x)=x.
Pour tout g1,g2 $\in$ G, $\theta$ (g1, $\theta$ (g2,x))= $\theta$ (g1.g2,x).

On dira aussi que $\theta$ définit une action de G sur X.

Remarque Afin de simplifier les notations, et quand aucune confusion n'est à craindre, on écrira, si g $\in$ G et x $\in$ X $\theta$ (g,x)=g.x .

Définition Soit $\theta$ une action de G sur X. On dira que l'action est fidèle si $\theta$ vérifie: $\forall x\in X$ g.x=x alors g=e.

Définition On dira que l'action $\theta$ de G sur X est transitive si $\forall x,y\in X \exists g \in G / g.x=y$ .

Définition Soit x $\in$ X et soit $\theta$ une action de G sur X.

On appelle stabilisateur de x et on note stab(x) le sous ensemble de G donné par stab(x)= $\lbrace g \in G / g.x=x \rbrace$ .
On appelle orbite de x et on note w(x) le sous ensemble de X donné par $\lbrace g.x / g\in G \rbrace$ .

Définition Si g est élément de G et que $\theta$ est une action de G sur X, on appelle fixateur de g et on note fix(g) ou X le sous ensemble de X donné par fix(g)= $\lbrace x \in X g.x=x \rbrace$ . De même si K est une partie de G, on notera X l'ensemble des x $\in$ X tels que $\forall g \in K g.x=x$ .