Vocabulaire

Définition On appelle loi interne sur G une application de G $\times$ G $\longrightarrow$ G.
Remarque Par abus de language, plutôt que de parler de loi interne sur G, on parlera de loi sur G.
Définition fondamentale Soit $\perp$ (prononcer antitruc) une loi sur G.
On dira que la loi $\perp$ définie une structure de groupe sur G si:

$\perp$ est associative, c.a.d si x,y,z sont éléments de G alors $(x\perp y)\perp z=x\perp(y\perp z)$ .
Il existe un élément neutre e pour $\perp$ dans G, c.a.d il existe $e \in G$ tel que $\forall x \in G x \perp e= e \perp x=x$ .
Tout élément x de G possède un inverse dans G pour $\perp$ , c.a.d $\forall x \in G \;\exists y \in G ; x \perp y=y \perp x=e$ . On notera, par analogie avec les notations habituelles pour les nombres réels, $x^{-1}$ l'inverse de x.

On notera (G, $\perp$ ) le groupe G muni de la loi $\perp$ . $\;$
Proposition Soit G un groupe pour la loi $\perp$ et soit e un élément neutre de G.

l'élément neutre de G est unique.
$e^{-1}=e$ .
Tout élément x de G possède un unique inverse.

Démonstration

Supposons que G possède deux éléments neutres e et e'. Alors, par définition de l'élément neutre d'un groupe, $e \perp e'=e' \perp e=e=e'$
Remarquons que, par définition de e, $e\perp e=e$ et donc que e est égal à son propre inverse.
Soient et des inverses de x dans G pour $\perp$ . Alors par définition de l'inverse d'un élément de G ainsi que du neutre de G, $x_1=x_1 \perp e=x_1 \perp (x\perp x_2)=(x_1 \perp x)\perp x_2=e\perp x_2=x_2$ .

Exemple ( ${\mathbb{Z}}$ ,+), ( ${\mathbb{Q}}$ ,+) , ( ${\mathbb{R}}$ *,.) sont des groupes.
Définition On dira que le groupe (G, $\perp$ ) est abélien si la loi $\perp$ est commutative, c.a.d pour tout x et y dans G: $x \perp y= y\perp % x$ .