Sous groupe d'un groupe

Soit (G, $\perp$ ) un groupe. Notons e le neutre de G.
Définition Soit H un sous ensemble de G. On dit que (H, $\perp$ ) est un sous groupe de G si la restriction de la loi $\perp$ de G à H définit une structure de groupe sur H

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Proposition On a équivalence entre:

(H, $\perp$ ) est un sous groupe de G.
e est élément de H et pour tout x et y dans H $x\perp y^{-1}$ est élément de H.

Démonstration Si H est un sous groupe de G, il est clair que la seconde partie de la proposition est validée.
Supposons donc maintenant cette deuxième partie validée et montrons que (H, $\perp$ ) a une structure de groupe. Remarquons pour commencer que comme $x\perp y^{-1}$ est élément de H pour tout élément x et y de H, on peut affirmer que la restriction de $\perp$ sur H définit une loi interne sur H. Remarquons ensuite que comme e est élément de H, $\perp$ possède un élément neutre dans H. De plus, si y est élément de H alors comme e est élément de H, $e \perp y^{-1}$ est élément de H et donc y possède un inverse dans H. L'associativité de la loi $\perp$ restreinte à H provient de l'associativité de $\perp$ sur G. (H, $\perp$ ) a donc bien une structure de groupe.
Remarque Ce critère sera très pratique pour vérifier que des ensembles munis d'une loi interne sont bien des groupes. En effet, on cherchera à montrer qu'ils sont des sous groupes d'un groupe plus grand. Il n'y aura alors que deux propriétés à vérifier à la place de 4.
Exemple ( ${\mathbb{Z}}$ ,+) est un sous groupe de ( ${\mathbb{Q}}$ ,+).
Exemple ( $\lbrace 2 \times k ; k\in {\mathbb{Z}} \rbrace$ ,+) est un sous groupe de ( ${\mathbb{Z}}$ ,+).