Ensembles inductifs et lemme de Zorn

Définition Soit E un ensemble partiellement ordonné . E est dit inductif si toute partie de E non vide et totalement ordonnée possède un majorant.

Définition Soit E un ensemble partiellement ordonné. Une partie de E totalement ordonnée est appelée une chaîne. Un élément d'une chaîne est appelé un maillon.

Un ensemble inductif est donc aussi un ensemble dans lequel toutes chaînes possède un majorant.

Définition Un ensemble E partiellement ordonné est dit strictement inductif si toute partie non vide de E possède une borne supérieure.

Lemme de Zorn Tout ensemble ordonné non vide et inductif possède un élément maximal.

Ce lemme est en fait une conséquence directe de l'axiome de choix. Nous considérerons dans ce cours le lemme de Zorn comme un axiome et écarterons pour le moment l'axiome de choix de nos préoccupations.