Homéomorphisme entre une boule fermée et un compact convexe d'intérieur non vide

Proposition Soit un compact convexe d'intérieur non vide de .

Alors est homéomorphe à la boule unité fermée.

Démonstration:

On peut supposer que 0 appartient à l'intérieur de .

On peut agrandir jusqu'à ce qu'il contienne la boule unité fermée.

On définit la fonction de la boule dans qui à associe avec le des tels que appartient à , avec le vecteur directeur de ( ). On définit .

Montrons tout d'abord que est bien définie. Si est non nul, étant borné, le sup des en question est bien défini si est non nul (le cas étant séparé).

appartient à pour tout , par convexité de . Le fait que est fermé fait que appartient à . Si est de norme , le problème est donc résolu. Si est de norme plus petite que , a fortiori, appartient à par convexité de .

Il faut maintenant montrer que est continue.

est continue en 0. En effet il est clair que tend vers 0 quand tend vers 0.

Il convient maintenant de montrer que est continue en autre que 0. Pour cela il suffira de montrer que la fonction qui à associe le des tels que appartient à est continue sur la sphère (ensuite il est clair que la multiplication par un scalaire est continue, que la fonction qui à un vecteur associe son vecteur directeur est continue (par quotient ).

La figure parle d'elle même.

Cela permet d'appliquer des triangulations sur la boule unité fermée (enfin sur un simplexe homéomorphe à la boule), voir théorème .

Figure: Par hypothèse, la boule est incluse dans . On se donne le point , c'est à dire le "bord" de dans la direction . Alors la zone grisée appartient nécessairement à par convexité. est alors nécessairement au delà de par convexité de , et en deça de , par définition de . D'où la continuité de .