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Transformation de Toeplitz

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Transformation de Toeplitz

Définition Etant donnée une famille $(c_{i,j})_{(i,j)\in \mathbb{N}^2}$ de coefficients complexes, on définit la transformation de Toeplitz

associée à cette famille comme étant l'application qui à une suite complexe $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ associe la suite $(Tu_n)_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $Tu_n=\sum_{i=0}^\infty c_{n,i}.u_i$ . On dit que

est régulière si et seulement si pour toute suite

convergente,

est définie pour tout

et la suite

converge vers la même limite que

Il s'agit de convergence de suites et non de séries; seuls les termes des

sont définis par des séries.
Proposition La transformation de Toeplitz

associée à $c_{n,m}$ est régulière si et seulement si les trois conditions suivantes sont vérifiées: $\bullet$ Pour tout

, $c_{i,j} \to 0$ comme

tend vers $+\infty$ .
$\bullet$ $\sum_{j=0}^\infty c_{i,j}$ tend vers

comme $i \to \infty$
$\bullet$ $\sum_{j=0}^\infty \vert c_{i,j}\vert$ est défini pour tout

et est borné par une constante

indépendante de

Démonstration: $\bullet$ Supposons que la transformation

soit régulière.
- le premier $\bullet$ exprime simplement le fait que

est régulière appliqué à la suite $u_n=\partial _{n,j}$ .
- Le second $\bullet$ exprime simplement le fait que

est régulière appliqué à la suite constante égale à

.
- Le troisième $\bullet$ se montre facilement en utilisant le théorème de Banach-Steinhaus

. On définit:

$\displaystyle T_i(x)=\sum_{j=0}^\infty c_{i,j} x_j$

définie pour

une suite convergente;

est bornée indépendamment de

.
Chaque

est une application linéaire continue de l'espace de Banach des suites convergentes de $\mathbb{C}$ (pour la norme ${\parallel}. {\parallel}_\infty$ ) dans $\mathbb{C}$ .
Par le théorème de Banach-Steinhaus (théorème

), on peut donc trouver

tel que pour toute suite

$\displaystyle \vert T_i(x)\vert \leq M.{\parallel}x {\parallel}_\infty$

On considère alors, pour

donné et

quelconque, la suite $x^{(m)}$ définie par:

$\displaystyle x_j=\overline c_{i,j}/\vert c_{i,j}\vert$ si

et $c_{i,j}\neq 0$

$\displaystyle x_j=0$ sinon

$x^{(m)}$ est convergente, de limite 0, bornée par

.
En calculant $T_i(x^{(m)})$ , on constate que la somme des $\vert c_{i,j}(x)\vert$ est bornée par

. D'où le point $\bullet$ .
$\bullet$ Il reste à voir la réciproque, c'est à dire que l'on suppose les trois points réalisés, et on cherche à montrer que

est régulière.
- On se donne

une suite convergente.
- La suite $\sum_j c_{i,j} u_j$ est évidemment convergente car $c_{i,j} u_j=O(c_{i,j})$ avec $\sum_j c_{i,j}$ absolument convergente. Donc

est bien défini pour tout

.
- Il reste à montrer que pour toute suite