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Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures CONSTRUCTION DES 2 MATRICES A et B

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CONSTRUCTION DES 2 MATRICES A et B

Proposition Soit $\fbox{\it M$={}^t{u}\overline{u}I-2u{}^t{\overline{u}}$}$ (matrice complexe)
Montrons que:
$M^2=a^2I \quad$ (matrice réelle)

Démonstration $M=aI-2u{}^t{\overline{u}}\hspace{2cm}$ d'où
$M^2=(aI-2u{}^t{\overline{u}})(aI-2u{}^t{\overline{u}})$ =
$a^2I-2au{}^t{\overline{u}}-2au{}^t{\overline{u}}+4(u{}^t{\overline{u}})(u{}^t{\overline{u}})=$
$a^2I-4au{}^t{\overline{u}}+4u({}^t{\overline{u}}u){}^t{\overline{u}}$ or ${}^t{\overline{u}}u={}^t({}^t{u}\overline{u})={}^t{a}=a$
(le réel