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Il arrive souvent qu'on ait besoin de calculer, non l'espérance de la variable
aléatoire  , mais l'espérance d'une fonction  de celle ci.
Si on applique la définition de l'espérance, cela suppose
qu'on calcule la loi de  , ce qui peut être très incommode. Le résultat
suivant simplifie ce problème.
Théorème 5.6 ( du transport ) Soit une v.a. sur l'espace de probabilité
 Soit
 une fonction mesurable
de
 dans
 Si est étagée ou discrète et de loi
alors l'espérance de X,
 existe si et seulement si
converge absolument et dans ce cas
est égale à cette somme.
Si a une densité  , alors de même
existe
si et seulement si
 est absolument convergente,
et dans ce cas
est égale à la somme de l'intégrale.
Démonstration On montre d'abord le résultat quand est étagée,
puis quand est positive en appliquant la définition de l'espérance d'une variable
aléatoire positive, et on passe facilement au cas où est de signe quelconque.
Exercices sur 5.3
- Soit une variable aléatoire de densité
Soit  un nombre réel et soit
 Pour quelles valeurs de
a-t-elle une espérance? La calculer quand elle existe.
- une variable aléatoire de densité
![$ \frac{1}{2}{\bf 1}_{[-1,1]}(x)$](/e/p/e/img148.gif) et soit
Etudier de deux manières l'existence éventuelle de
 soit à l'aide
du théorème du transport, soit en calculant la densité de : pour cela,
écrire d'abord la fonction de répartition de puis dériver.
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