PRELIMINAIRES ET OBJECTIF

Ce travail est la suite logique de l'article intitulé "la quintessence de la primalité n'est-elle pas l'inversibilité?"où j'ai essayé de convaincre le lecteur du bien-fondé de définir un élément premier dans
un demi-groupe multiplicatif abélien

et non pas dans un anneau, comme c'est l'usage, grâce à la définition: élément de sera dit premier si et seulement si n'est possible qu'avec ou bien inversible("ou bien" désignant le "ou" exclusif). Dès lors il devenait naturel de développer l'arithmétique factorielle(celle qui est "calée" uniquement sur la décomposition primaire unique) dans un demi-groupe où il existe une décomposition primaire unique qui est appelé pour cela demi-groupe factoriel.La suite est donc un cours d'arithmétique factorielle developpé à partir de la structure de demi-groupe factoriel où l'on retrouve bien sûr toutes les propriétés traditionnelles d'un anneau factoriel après quoi pour rejoindre l'arithmétique polynômiale qui elle nécessite la structure d'anneau on définit un anneau factoriel comme un anneau commutatif unitaire intègre dont le demi-groupe multiplicatif est factoriel ce qui est équivalent à la définition traditionnelle d'un anneau factoriel.On poursuit avec le théorème de permanence de la factorialité de Gauss et on termine avec le critère d 'Eisenstein dans plusieurs versions qui permet de détecter les polynômes premiers à une ou plusieurs indéterminées.
La lecture de l'article cité plus haut est conseillée pour tirer un profit optimal de ce travail.